Mit jelent a lineáris függvény? Milyen a képe a derékszögű koordináta-rendszerben? Mi a lineáris függvény képletének általános alakja? Mi a tengelymetszet, meredekség? Hogyan lehet “számolás nélkül” ábrázolni a lineáris függvényt a képlete alapján?
Válaszok a bejegyzésben…
Mit jelent az, hogy lineáris függvény?
A lineáris egyenest jelent.
Lineáris függvények alatt pedig azokat a függvényeket értjük, melyeknek a képe egyenes, azaz, ha ábrázoljuk őket a derékszögű koordináta-rendszerben, akkor a függvény minden pontja ugyanarra az egy egyenesre esik.
A lineáris függvény képletének általános alakja
Az általános alakhoz több képletet is meg tudunk adni, de legtöbbször a következőt használjuk:
y = a∙x + b (vagy y = m∙x + b)
A használhatóság érdekében az x együtthatóját számlálós-nevezős tört alakban írnám, mivel ez “láthatóvá” teszi a függvény megfelelő pontjainak elhelyezkedését:
y = a1/a2∙x + b (vagy y = m1/m2∙x + b)
Tengelymetszet és meredekség
Az előbbi képletekben a b a függvény tengelymetszete, az a, az m, az a1/a2, illetve az m1/m2 pedig a függvény meredeksége.
A tengelymetszet azt mutatja meg, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy megnézzük a b értékét, s a derékszögű koordináta-rendszerben az y tengelyen bejelöljük ezt a pontot, mivel ezen biztosan át fog haladni a függvény.
(Ennek oka, hogy a képletbe az x = 0 értéket helyettesítve, annak értéke b lesz, ezért a metszéspont koordinátája (0; b) kell, hogy legyen.)
A meredekség az x együtthatója, megmutatja, hogy a derékszögű koordináta-rendszerben a függvény egy adott pontjából mennyit lépünk a tengelyekkel párhuzamosan (jobbra, fel), illetve mekkora szöget zár be a függvény egyenese az x tengellyel.
Ha az x együtthatóját számlálós-nevezős tört alakban írjuk, akkor a nevező mutatja meg, hogy mennyit lépünk jobbra (vagyis az x-tengellyel párhuzamosan, a +∞ irányába hány egységet lépünk a függvény egy adott pontjából), a számláló pedig, hogy mennyit lépünk felfelé (az y-tengellyel párhuzamosan haladva), ahhoz, hogy a függvény egy újabb pontját megkapjuk.
Megjegyzés:
Ha a számláló pozitív, akkor az y-tengellyel párhuzamosan a +∞ irányába (felfelé), ha a számláló negatív, akkor pedig a –∞ irányába (lefelé) lépkedünk – feltéve, hogy a nevező pozitív.
Ha a meredekség segítségével további pontokat jelölünk be, akkor azokat összekötve pontosa(bba)n tudjuk ábrázolni az adott lineáris függvényt.
Lineáris függvény ábrázolása a gyakorlatban – “számolás nélkül”
1. feladat:
Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben a következő függvényt:
y = 2/3∙x – 5
Elemezzük a fenti képletet, gyűjtsük ki a szükséges adatokat!
Mivel a hozzárendelés szabálya a∙x+b alakú, ezért a feladatban lineáris függvény szerepel, azaz a képe egyenes.
Tengelymetszete (b): (-5)
Meredeksége (a): 2/3
– számláló (fel): 2
– nevező (jobbra): 3
Ezen elemzések elvégzése után már nem fog problémát okozni a függvény ábrázolása. Ehhez az alábbi lépéseket szükséges végrehajtani:
1.) Készítsük el a derékszögű koordináta-rendszert:
2.) A tengelymetszet alapján ábrázoljuk a tengelymetszetet:
3.) A meredekség alapján ábrázoljuk a függvény további lehetséges pontjait:
4.) Az ellentétes irányba is jelöljük a függvény lehetséges pontjait:
5.) Kössük össze a fentiek alapján bejelölt pontokat:
6.) “Nevezzük meg” a függvényt:
