Másodfokú egyenlet szorzatalakja és ábrázolása a gyökök segítségével

Hogyan tudjuk felírni a másodfokú egyenletet szorzatalakban? Hogyan tudjuk ábrázolni a másodfokú függvényt, ha szükséges? Hogyan alkalmazzuk a gyakorlatban?

A másodfokú egyenlet szorzatalakja

Ahhoz, hogy egy másodfokú egyenletet fel tudjunk írni szorzat alakban, ismernünk kell annak a megoldásait.

Ha ismerjük a másodfokú egyenletet, valamint a két megoldását, akkor az alábbi képlet segítségével át tudjuk alakítani az egyenletet összegből szorzattá.

a∙x² + b∙x + c = a∙(x – x1)∙(x – x2)

 

Másodfokú kifejezés szorzattá alakítása – gyakorlat

 

1. feladat:
Alakítsa szorzattá a következő kifejezést:
2∙x² – 3∙x – 5

A fenti képletből is látszik, hogy a szorzatalak felírásához ismernünk kell az x1 és x2, azaz a gyökök értékét. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenletet:

2∙x² – 3∙x – 5 = 0

A megoldások:

x1 = 2,5
x2 = (-1)

Ezek, valamint az x² együtthatójának segítségével pedig már fel tudjuk írni a másodfokú kifejezés szorzatalakját:

2∙(x – 2,5)∙(x + 1)

Az ellenőrzést a zárójelek felbontásával megtehetjük.
Tehát a feladat megoldása

2∙x² – 3∙x – 5 = 2∙(x – 2,5)∙(x + 1)

Megjegyzés:
Ügyeljünk a két tagú tényezőkben szereplő előjelekre! Alkalmazzuk az előjeles számokra vonatkozó “röviden írás” szabályát.

A másodfokú függvény ábrázolása

Amennyiben a függvény pontos ábrázolására van szükség, úgy a teljes négyzetté alakítás után ábrázoljuk a függvényt. Abban az esetben, ha elegendő “csak” a függvényérték előjelének az ismerete (hol negatív, nulla, pozitív), akkor a gyökök segítségével könnyedén tudjuk ábrázolni a másodfokú függvényt.

Ehhez tudnunk kell, hogy a másodfokú egyenletnek a gyökei azt a helyet adják meg, ahol a függvény értéke nulla, azaz megmutatja, hogy a függvény hol metszi az x tengelyt.

Tehát, ha egy másodfokú függvény megoldásai: x1=3; x2=8, akkor ebből tudjuk, hogy az x tengelyt ezekben a pontokban metszi, ezért jelöljük be a (3; 0) és a (8; 0) pontokat.

Ha az x² együtthatója pozitív, akkor a függvény egyenes állású, tehát fentről lefelé indítva áthaladunk a (3; 0) ponton az x tengely alá, majd a minimumpontot elérve (ennek helye a két zérushely átlaga) felfelé átvezetjük a függvény pontjait a (8; 0) ponton, s folytatjuk az ívet felfelé haladva.

Ha az x² együtthatója negatív, akkor a függvény fordított állású, tehát lentről felfelé indítva haladunk át a (3; 0) ponton az x tengely fölé, majd a maximumpontot elérve (ennek helye a két zérushely átlaga) lefelé átvezetjük a függvény pontjait a (8; 0) ponton, s folytatjuk az ívet lefelé haladva.

Ekkor a függvény ábrájáról (többek között) az alábbiakat tudjuk leolvasni:
Ha a függvény egyenes állású, akkor
– a (-∞; 3) intervallumban pozitív;
– a (3; 8) intervallumban negatív;
– a (8; +∞) intervallumban pozitív;

Természetesen fordított állású parabola esetén az előjelek megfordulnak.

A másodfokú függvény ábrázolásának gyakorlati alkalmazása

Ezt a módszert akkor alkalmazzuk általában, amikor a feladat egy másodfokú egyenlőtlenség, törtes egyenlőtlenség megoldását kéri, illetve másodfokú kifejezések abszolútértékét tartalmazza.

2. feladat:
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget:
3∙x² – 9∙x – 84 ≥ 0

Értelmezzük a fenti feladatot!
A kérdés a következő: Az adott másodfokú függvény értéke mikor lesz nagyobb, mint nulla, vagy azzal egyenlő?

Mit jelent ez a kérdés grafikusan?
Ha ábrázoljuk a másodfokú függvényt, akkor hol helyezkednek el azok a pontok, melyek az x tengelyen, vagy az fölött vannak?

Ehhez ábrázolnunk kell a függvényt a derékszögű koordináta-rendszerben.
Ennek mikéntjét az előbb láthattuk, tehát most ezt alkalmazzuk.

Az ábrázoláshoz először számítsuk ki azokat a helyeket, melyek éppen az x tengelyen vannak, azaz oldjuk meg a következő másodfokú egyenletet:

3∙x² – 9∙x – 84 = 0

Ezt legegyszerűbben úgy tudjuk megtenni, ha behelyettesítünk a másodfokú egyenlet megoldóképletébe.

Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai:

x1 = 7
x2 = (-4)

Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a függvénynek két pontja van az x tengelyen, mégpedig a (7; 0) és a (-4; 0) pontok.

Az eredeti egyenlőtlenség megoldásának szempontjából az ábrázoláshoz már csak arra van szükségünk, hogy megállapítsuk, hogy a függvény egyenes, vagy fordított állású.

Ehhez a másodfokú tag (x²) együtthatóját kell megvizsgálnunk. Ha ez pozitív, akkor a függvény képe (parabola) egyenes állású, ha az együttható negatív, akkor pedig fordított állású lesz.
Mivel a mi esetünkben az együttható pozitív (3 > 0), ezért egyenes állású – azaz felül nyitott és minimumponttal rendelkező – parabolát kell rajzolnunk. Figyelembe kell vennünk a függvény előbb kapott két pontját is.

A függvényt a következőképpen tudjuk megrajzolni:
Ahogy balról jobbra haladunk az x tengelyen, úgy a függvény pontjai fentről lefelé haladnak a (-4; 0) pontig, onnan tovább csökken az érték, de a két zérushely átlagánál elérjük a minimumpontot, majd visszafordulva növekednek az értékek egészen a (7; 0) pontig, ahonnan (újra átlépve az x tengelyt) haladunk felfelé – ügyelve arra, hogy a függvényünk “szára” ne kanyarodjon vissza…

Készítsük el tehát a függvény számunkra lényeges információt tartalmazó képét.
(Ugyanis az eredeti feladat szempontjából csak az a fontos, hogy a függvény pontjai hol vesznek fel pozitív, illetve negatív értéket, a felvett érték pontossága viszont már mellékes.)

Mivel korábban már átfogalmaztuk egy kicsit a feladatot, ezért már “csak” le kell olvasni az egyenlőtlenség megoldását a fenti ábráról.

Mi is volt a kérdés?
Hol helyezkednek el azok a pontok (természetesen a ‘hol’ arra utal, hogy az x tengelyre vonatkozó adatokra van szükség), melyek az x tengely felett, vagy azon helyezkednek el.

Az ábráról látható, hogy két, egymástól független intervallumban is találunk ilyen pontokat. Az egyik, a parabola bal oldali szárának egy része, a másik pedig a parabola jobb oldali szárának egy része.

Kezdjük először a bal oldali intervallummal:
Látható, hogy a -∞-től haladva a függvény pontjai pozitív értéket vesznek fel, egészen a (kisebb) zérushelyig, azaz a (-4; 0) pontig. Ez azt jelenti, hogy a függvény a (-∞; -4) intervallumban vesz fel pozitív értékeket. Mivel a feladat feltétele “megengedi” az egyenlőséget is, ehhez vegyük hozzá az x = (-4)-et is, így a feladathoz tartozó egyik intervallum következő lesz:

x є (-∞; -4]

Folytassuk a jobb oldalon található megoldásokkal:
Az előzőek alapján láthatjuk, hogy a függvény pontjai a (7; 0) ponttól (az x tengelyen) haladva a +∞ felé, szintén nulla, illetve pozitív értékeket vesznek fel, ezért erre a feladatrészre vonatkozó megoldásunk a következő:

x є [7; +∞)

Megjegyzés:
A zárt intervallum […] azt jelenti, hogy az intervallumhoz hozzá tartoznak a végpontok is, ezzel szemben a nyílt intervallum (…) azt jelenti, hogy a végpontokhoz nagyon-nagyon közeli értékek még hozzátartoznak az intervallumhoz, de maguk a végpontok már nem.
Azok az intervallumok, melyek tartalmaznak zárt és nyílt jelöléseket is […), illetve (…], azok az előzőek alapján a zárt jelölésnél levő értéket felvehetik, a nyílt jelölésnél levő értéket pedig nem.
Ha az intervallum egyik “vége” a végtelen, akkor ott mindenképpen nyílt jelölést kell használnunk.

Emlékeztetőül a feladat:

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget:
3∙x² – 9∙x – 84 ≥ 0

Az előbbiek alapján eddig az alábbi lépéseket hajtottuk végre:
– megkerestük a zérushelyeket,
– megállapítottuk a függvény állását,
– ábrázoltuk derékszögű koordináta-rendszerben,
– leolvastuk a megfelelő intervallumo(ka)t.

Ellenőrizzük a megoldásunkat, ehhez a fenti intervallumokból “tetszőleges” értéket választva, helyettesítsük be azokat az egyenlőtlenségbe.

Megjegyzés
Tetszőleges alatt a intervallumban található olyan értékeket értünk, melyekkel valóban tesztelhetjük a megoldásunk helyességét. Tehát nézzük meg pl. az x є {-5; -10; +8; +10} értékeket. Ezeknél kisebb, illetve nagyobb értékkel számolni (hacsak a feladat nem kívánja), nem szükséges, hiszen ebben a feladatban ezekhez a elemekhez tartozó értékekből tudunk következtetni a többi, be nem helyettesített elemhez tartozó értékre.
Természetesen gyakorlással hamar rááll a szemünk…

Mivel az ellenőrzés során nem jutunk ellentmondásra, így felírhatjuk a feladat megoldását, melyben a kapott halmazokat egyesítjük, azaz vesszük azok unióját:

x є (-∞; -4] U [7; +∞)

 

Címke , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.