Másodfokú függvény teljes négyzetté alakítása

Mi az a teljes négyzet? Miért előnyös a teljes négyzetté alakított egyenlet a másodfokú függvény ábrázolásában? Hogyan tudjuk átalakítani a másodfokú egyenlet általános alakját teljes négyzetté? Hogyan alkalmazzuk a teljes négyzetté alakítást a gyakorlatban?

Mi az a teljes négyzet? Hol tudjuk használni?

Ha a másodfokú egyenlet általános alakban van felírva, azt át tudjuk alakítani úgy, hogy a derékszögű koordináta-rendszerben “számolás nélkül” tudjuk ábrázolni.
Ehhez az alábbi alakra célszerű hozni a másodfokú kifejezésünket:

(x+a)² + b

Ez a jelölés jelen esetben félreértést okozhat, ugyanis az itt szereplő paraméterek jelei (a, b) szerepelnek a másodfokú egyenlet általános alakjában is. Ennek kiküszöbölésére az ‘a’ helyett ‘p’-t, a ‘b’ helyett pedig ‘q’-t fogok használni.

Ennek alapján a teljes négyzet alakja:

(x+p)² + q, ami egész pontosan:
a∙(x+p)² + q

Megjegyzés:
Korábbi, a másodfokú függvény ábrázolását tárgyaló bejegyzésben már használtuk ezt az alakot. Az ott leírtak természetesen most is használhatóak, azzal az eltéréssel, hogy ami ott ‘a’-val van jelölve, az helyett itt ‘p’-t, illetve az ottani ‘b’ helyett itt ‘q’-t kell érteni.
Tehát a ‘p’ mutatja az x-tengellyel párhuzamos, DE ellentétes irányú, a ‘q’ pedig az y-tengellyel párhuzamos, megegyező irányú elmozdulását az alapfüggvénynek.

Ez azért előnyös számunkra, mert ebből a képletből le tudjuk olvasni a másodfokú függvény minimumpontját, amiből kiindulva fel tudjuk rajzolni az x² alapfüggvényt, illetve annak egy transzformációját.

Általános alakból teljes négyzet – lépésenként

Tegyük fel, hogy adott a másodfokú kifejezés általános alakja:

a∙x² + b∙x + c = ?

A teljes négyzetté alakításhoz az alábbi lépésekre van szükség:
1.) Minden tagból emeljük ki az x² együtthatóját (a-t), hogy ott mindenképpen 1 legyen.

= a∙[x² + (b/a)∙x + (c/a)]

2.) A [] zárójelen belüli kifejezésből megállapíthatjuk a ‘p’ értékét az alábbi módon:

p = (b/a):2 = b/2a

3.) Írjuk fel az eddigi eredményeinket:

a∙[(x + b/2a)²]

4.) Ha elvégezzük a négyzetre emelést, akkor észrevehetjük, hogy a [] zárójelen belüli másodfokú kifejezés első két tagja rendben van, de többletként jelenik meg (a zárójelen belüli) “a második tag négyzete”, amit ki kell vonnunk a hatványból. Így az alábbi képlethez jutunk:

a∙[(x + b/2a)² – (b/2a)²]

5.) Már csak a konstans tag hiányzik, tehát egészítsük ki az eddigi eredményünket a konstans értékével:

a∙[(x + b/2a)² – (b/2a)² + c/a]

6.) Végezzük el a lehetséges egyszerűsítéseket, összevonásokat.

Megjegyzés:
A fentiek alapján tehát:
p = b/2a;
q = – (b² – 4∙a∙c) / 4∙a = –D / 4a;

Ezeknek a képleteknek a fejben tartása teljes mértékben felesleges, itt is inkább magára a módszerre helyezzük a hangsúlyt.

Általános alakból teljes négyzet – alkalmazás, lépésenként

A fenti lépéseket alkalmazzuk a következő másodfokú kifejezésre:

2∙x² – 6∙x + 11 = ?

Ehhez az alábbi lépéseket hajtsuk végre:
1.) Minden tagból emeljük ki az x² együtthatóját, azaz a 2-t.

2∙[x² – 3∙x + 11/2]

2.) Számítsuk ki a ‘p’ értékét az alábbi módon:

p = (b/a):2 = (-3):2 = (-3/2)

3.) Írjuk fel az eddigi eredményeinket:

2∙[(x – 3/2)²]

4.) Ha felbontjuk a zárójelet, akkor észrevehetjük, hogy a másodfokú kifejezés első két tagja rendben van, de többletként jelenik meg (a zárójelen belüli) “a második tag négyzete”, amit ki kell vonnunk a hatványból. Így az alábbi képlethez jutunk:

2∙[(x – 3/2)² – (3/2)²]

5.) Már csak a konstans tag hiányzik, tehát egészítsük ki az eddigi eredményünket a konstans értékével:

2∙[(x – 3/2)² – (3/2)² + 11/2]

6.) Végezzük el a lehetséges egyszerűsítéseket, összevonásokat.

2∙(x – 3/2)² + 13/2

 

Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítás után – gyakorlat

 

Feladat:
Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben a következő függvényt:
f(x) = x² + 4∙x – 5

Ahhoz, hogy tudjuk ábrázolni ezt a függvényt a derékszögű koordináta-rendszerben, teljes négyzetté kell alakítanunk, amit a fenti lépések követésével az alábbiak szerint tehetünk meg:

f(x) = x² + 4∙x – 5 = (x+2)² – 4 – 5 = (x+2)² – 9

Ennek alapján pedig már tudjuk ábrázolni a függvényt.
Ehhez először olvassuk le a parabola szélsőértékének (minimumpontjának) a koordinátáját. Jelen esetben ez a koordináta: (-2; -9).
Ebből a pontból indulva felrajzolhatjuk a másodfokú függvényhez szükséges íveket az alapfüggvény alapján.
 

Címke , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.