Viéte-formula, avagy a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések

Milyen összefüggés van a másodfokú egyenelet gyökei (megoldásai) és együtthatói között? Hogyan alkalmazhatjuk a gyakorlatban ezeket az összefüggéseket?

Viéte-formulák, avagy milyen összefüggésekről van szó?

A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennálló összefüggéseket szokták Viéte-formuláknak is hívni.
Francois Viéte francia matematikus nevéhez fűződik ezen összefüggések rövid lejegyezhetősége, ugyanis ő volt az első matematikus, aki az együtthatók jelölésére betűket (paraméterként) használt.

Elevenítsük fel a másodfokú egyenlet általános alakjára vonatkozó ismereteinket:

a∙x² + b∙x + c = 0

Amennyiben ezeket a paramétereket (a, b, c) használjuk, akkor a másodfokú egyenlethez kapcsolódó Viéte-formulák a következők:

x1 + x2 = –b/a
x1 ∙ x2 = c/a

 

A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alkalmazása a gyakorlatban

 

1. feladat:
Melyik az a másodfokú egyenlet, melynek a megoldásait ha összeadjuk, akkor 3-at kapunk, ha a megoldásokat összeszorozzuk, akkor pedig 4-et?

Ebben az esetben nem kell mást tennünk, mint behelyettesíteni a megadott értékeket a megfelelő Viéte-formulába. Mivel az ‘a’ értéke nem volt megadva, az legyen 1, tehát ‘a = 1’ értékkel fogunk számolni.

A gyökök összegéből ismerjük a (-b) értékét, tehát:

-b = 3, amiből b = (-3)

A gyökök szorzatából ismerjük a ‘c’ értékét:

c = 4

Ezek után már csak fel kell írnunk a keresett másodfokú egyenletet:

1∙x² – 3∙x + 4 = 0

Mivel a feladatban önkényesen választottuk meg az ‘a’ értékét, most azt fel kell oldanunk, mégpedig úgy, hogy az egyenlet megoldásait ne befolyásolja. Ehhez megtehetjük, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ugyanazzal a tetszőleges (nullától különböző) valós számmal.

Ebből az alábbi másodfokú egyenlethez jutunk:

k∙(x² – 3∙x + 4) = 0, ahol kєR, k ≠ 0.

 

2. feladat:
Határozza meg az alábbi egyenlet paramétereit (b, c), ha tudjuk, hogy a két megoldása x1=(-3); és x2=7!
2∙x² + b∙x + c = 0

A hiányzó paraméterek kiszámításához írjuk fel a Viéte-formulákat, majd végezzük el a lehetséges behelyettesítéseket!

Határozzuk meg először a ‘b’ paraméter értékét:

x1 + x2 = –b/a
(-3) + 7 = –b/2
4 = -b/2
8 = -b
(-8) = b

Most határozzuk meg a ‘c’ paraméter értékét:

x1 ∙ x2 = c/a
(-3) ∙ 7 = c/2
(-21) = c/2
(-42) = c

Írjuk fel a másodfokú egyenletet:

2∙x² – 8∙x – 42 = 0

 

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.