Függvények transzformációja

Mit jelent a függvénytranszformáció? Az egyes képleteknek mely része, milyen transzformációt jelent? Hogyan tudjuk a függvénytranszformációt alkalmazni egy-egy feladatban?

Mi az a függvénytranszformáció?

A függvénytranszformáció gyakorlatilag szintén egyfajta függvény, hiszen az adott függvény pontjaihoz egy pontot rendel.
Ez számunkra azt fogja jelenteni, hogy ábrázolunk egy függvényt, majd a megfelelő tudás birtokában elvégzünk bizonyos transzformációkat a meglevő függvény minden pontjára, majd azokra újabb transzformációt alkalmazhatunk…

Transzformáció jelölése, jelentése

Aki folyamatosan követi az egyes bejegyzéseket, a transzformációk közül kettővel már megismerkedhetett:
1.) Ha “zárójelen belül” van összeadás vagy kivonás, az az x-tengellyel párhuzamos, DE ellentétes irányú mozgást jelenti, azaz a függvény “csúszik” balra vagy jobbra.
Pl.: f(x) = |x-3|, vagy g(x) = (x+5)², illetve h(x) = √(x-2)
(Az f(x) hozzárendelésben a zárójelet az abszolútértékjel helyettesíti.)
Az első esetben az alapfüggvény jobbra mozdul 3 egységgel, a második esetben az alapfüggvény balra mozdul 5 egységgel, végül a harmadik esetben az alapfüggvény újra jobbra mozdul 2 egységgel.

2.) Ha “zárójelen kívül” van összeadás vagy kivonás, az az y-tengellyel párhuzamos, megegyező irányú mozgást eredményezi, azaz a függvény “csúszik” fölfelé vagy lefelé.
Pl.: f(x) = |x|+2, vagy g(x) = x²-5
Az első esetben az alapfüggvény felfelé mozdul 2 egységgel, míg a második esetben az alapfüggvény lefelé mozdul 5 egységgel.

3.) Ha a függvényt adott értékkel szorozzuk vagy osztjuk, az az y-tengellyel párhuzamosan a függvény nyújtását vagy zsugorítását jelenti. (Csak óvatosan!!!)
Pl.: f(x) = |2∙x|+2 vagy g(x) = 2∙(|x|+2)
Az első esetben az alapfüggvény minimumpontjának koordinátája: (0; 2), a szárak meredeksége: (-2), illetve (+2), a második esetben azonban a minimumpont koordinátája már: (0; 4), a szárak meredeksége pedig változatlanul (-2), illetve (+2). (1-et balra, 2-t fel, …; illetve 1-et jobbra, 2-t fel,…)

4.) Ha a függvényt (-1)-gyel szorozzuk, akkor a koordináta-rendszerben minden pontot tengelyesen tükröznünk kell az x tengelyre.
Pl.: f(x) = –(|x|–2)
Ábrázoljuk az f1(x)=|x|–2 függvényt, majd annak minden pontját tükrözzük az x tengelyre.

5.) Ha a függvénynek vesszük az abszolútértékét, akkor az azt jelenti, hogy azok a pontok, melyek jelenleg az x tengelyen, vagy az fölött vannak, azok változatlanul maradnak, amelyek pedig az x tengely alatt vannak, azokat tengelyesen tükrözzük az x tengelyre.
Pl.: f(x) = |x²-4|
Ábrázoljuk az f1(x)=x²-4 függvényt, majd azokat a pontokat, melyek az x tengelyen vagy az fölött vannak hagyjuk változatlanul, azokat a pontokat pedig, melyek az x tengely alatt vannak, tengelyesen tükrözzük az x tengelyre.

Ha ezeket a transzformációs jelöléseket és jelentéseket értjük, akkor nem okoz problémát az alábbi bonyolultnak látszó függvény ábrázolása sem.

Függvénytranszformáció alkalmazása a gyakorlatban

 

Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi függvényt:

Ennek a függvénynek az ábrázolását csak több lépésben tudjuk végrehajtani a függvénytranszformációk segítségével, mégpedig az alábbiak szerint:
0. lépés: f0(x) = |x|
1. lépés: f1(x) = f0(x)-1, azaz f1(x) = |x|-1
2. lépés: f2(x) = |f1(x)|, azaz f2(x) = ||x|-1|
3. lépés: f3(x) = f2(x)-5, azaz f3(x) = ||x|-1|-5
4. lépés: f4(x) = |f3(x)|, azaz f4(x) = |||x|-1|-5|
5. lépés: f5(x) = f4(x)-1, azaz f5(x) = |||x|-1|-5|-3
6. lépés: f6(x) = |f5(x)|, azaz f6(x) = ||||x|-1|-5|-3|
Látható, hogy az utolsó lépésben elért f6(x) = f(x), azaz a kiindulási feladattal.

Nézzük végig egyenként, hogy az egyes lépésekben milyen transzformációt kell végrehajtani a függvényen.
0. lépés: f0(x) = |x|, azaz megrajzoljuk az alapfüggvényt;
1. lépés: f1(x) = f0(x)-1, azaz csúsztatjuk lefelé 1 egységgel (az előbb kapott függvényt)
2. lépés: f2(x) = |f1(x)|, azaz az x tengely alatti pontokat tükrözzük az x tengelyre, a többit változatlanul hagyjuk (a legutóbbi függvényben)
3. lépés: f3(x) = f2(x)-5, azaz csúsztatjuk lefelé 5 egységgel (a legutóbbi függvény minden pontját)
4. lépés: f4(x) = |f3(x)|, azaz az x tengely alatti pontokat tükrözzük az x tengelyre, a többit változatlanul hagyjuk (a legutóbbi függvényben)
5. lépés: f5(x) = f4(x)-1, azaz csúsztatjuk lefelé 3 egységgel (a legutóbbi függvény minden pontját)
6. lépés: f6(x) = |f5(x)|, azaz az x tengely alatti pontokat tükrözzük az x tengelyre, a többit változatlanul hagyjuk (a legutóbbi függvényben)

Nézzük tehát a fenti lépéseket párosával, de már a derékszögű koordináta-rendszerben:
0-1. lépés:

2-3. lépés:

4-5. lépés:

6. lépés:

 

Címke , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.