Néhány nem lineáris (alap-)függvény – másodfokú függvény, f(x) = x²

Milyen a másodfokú alapfüggvény képe? Hogyan lehet könnyedén felrajzolni a másodfokú függvény alapfüggvényét? Hogyan lehet ábrázolni a másodfokú függvényt a gyakorlatban – számolás nélkül?

Milyen a másodfokú alapfüggvény képe? Hogyan tudjuk könnyedén felrajzolni?

Az alapfüggvény ábrázolásához induljunk ki a függvény minimumpontjából, ami az Origó. A következő ponthoz úgy jutunk, ha lépünk 1-et jobbra, 1-et fel, majd ebből a pontból továbbhaladunk: 1-et jobbra, 3-at fel, majd tovább: 1-et jobbra, 5-öt fel, stb.
A függvény ‘bal’ oldalán pedig az Origóból indulva: 1-et balra, 1-et fel, majd ebből: 1-et balra, 3-at fel, majd tovább: 1-et balra, 5-öt fel, stb.

Látható, hogy a “szomszédos” pontokhoz mindig 1-et lépünk jobbra (vagy balra), majd 1, 3, 5, 7, 9, …, azaz mindig a következő páratlan számnyit lépünk felfelé.

A másodfokú függvényben az imént megrajzolt pontokat nem köthetjük össze szakaszokkal, hiszen, ha ezeken kívüli értékeket is kiszámítunk (minél többet), akkor kiderül, hogy a fenti pontokat ívek kötik össze. Így nekünk is vonalzó nélkül (szabadkézzel), ívet kell húznunk közöttük.
(Ügyeljünk arra, hogy a függvénynek a minimumpontban is íve, ne pedig csúcsa legyen, továbbá, hogy a függvény szárai ne kanyarodjanak visszafelé.)

Így könnyen eljuthatunk az f(x) = x² másodfokú függvény alábbi képéhez (alapfüggvényéhez):

 

A másodfokú függvény ábrázolása – gyakorlat

 

1. feladat:
Ábrázolja az f(x) = (x+3)²–7 függvényt!

Ebben az esetben az alapfüggvény, (melynek minimumpontja az Origó), az x tengely mentén a –∞ irányába mozdul 3-at [a=(+3), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont balra mozdul 3 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a –∞ irányába mozdul 7-t [b=(-7), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát lefelé mozdul 7 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény minimumpontjának koordinátája: (-3; -7) lesz, melyből indulnak a megfelelő ívek (1-et jobbra, páratlant fel…, 1-et balra, páratlant fel…).

 

2. feladat:
Ábrázolja a g(x) = (x–5)²–4 függvényt!

Ebben a feladatban az alapfüggvény az x tengely mentén a +∞ irányába mozdul 5-öt [a=(–5), ami az x-tengellyel ellentétes irányú mozgás, tehát a minimumpont jobbra mozdul 5 egységnyit]; majd ebből a pontból az y tengely mentén a –∞ irányába mozdul 4-t [b=(–4), ami az y-tengellyel megegyező irányú mozgást jelenti, tehát lefelé mozdul 4 egységnyit.]

Ennek eredményeképpen a függvény minimumpontjának koordinátája: (5; –4) lesz, melyből indulnak a megfelelő ívek (1-et jobbra, páratlant fel…, 1-et balra, páratlant fel…).

Megjegyzés:
A másodfokú függvény képét parabolának hívjuk, mely lehet egyenes és fordított állású egyaránt. Ha az (ax²+bx+c alakban az) x² együtthatója pozitív, akkor a függvény egyenes állású, azaz minimumpontja van. Ha az x² együtthatója negatív, akkor a függvény fordított állású, azaz maximumpontja van.

 

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.