Elsőfokú, egy ismeretlenes egyenlet grafikus megoldása

Milyen az elsőfokú, egy ismeretlenes egyenlet általános alakja? Hogyan lehet ebből lineáris függvényt “varázsolni”? Mit jelent az elsőfokú, egy ismeretlenes egyenlet grafikus megoldása? Hogyan lehet megoldani az elsőfokú egyenletet grafikusan, a gyakorlatban?

Milyen az elsőfokú, egy ismeretlenes egyenlet általános alakja?

Természetesen többféle alakban is felírhatjuk az elsőfokú egyenleteket, de mind közül az alábbi a leggyakoribb:

a∙x + b = 0

Megjegyzés:
Ha az elsőfokú, egy ismeretlenes egyenlet nem ilyen alakú, akkor ekvivalens átalakításokkal (egyenletrendezéssel) hozzuk a fenti alakra.

Elsőfokú egyenletből lineáris függvény

Az előző, Lineáris függvény általános alakja, ábrázolása című bejegyzésben is olvasható, hogy a lineáris függvény általános alakja:

y = a∙x + b

Ezért a fenti elsőfokú egyenletet ugyanilyen alakra kell hoznunk. Ehhez nem kell mást tennünk, mint a jobb oldalon található nulla helyett y-t írunk, majd a a két oldalt felcseréljük.

Mit jelent a grafikus megoldás?

Az előbbiek során megkaptuk az egyenlet általános alakjából a lineáris függvény általános alakját. Nincs más hátra, mint az említett (Lineáris függvény általános alakja, ábrázolása) bejegyzésben olvasható módon ábrázoljuk a lineáris függvényt.

Sajnos ezzel még nem tudjuk, hogy mi az egyenlet megoldása. Ehhez le kell olvasnunk, hogy a függvény (azaz az egyenes) hol metszi az x-tengelyt. A kapott x érték adja az elsőfokú, egy ismeretlenes egyenlet megoldását.

Megjegyzés:
Azért ez a metszéspont lesz az egyenlet megoldása, mert az átalakítás során a nulla helyett y-t írtunk, tehát az y értéke nulla. Mivel az y=0 egyenletű egyenes éppen a derékszögű koordináta-rendszer x-tengelye, ezért az egyenesnek, valamint az x-tengelynek a metszéspontját kell megkeresnünk. Ebből pedig következik, hogy ennek a metszéspontnak az x koordinátája fogja adni az egyenlet megoldását.

Grafikus megoldás alkalmazása a gyakorlatban

 

Feladat:
Oldja meg a következő egyenletet grafikusan:
5(x+2) – 2(x-4) = x + 21

Alakítsuk át a feladatot úgy, hogy az alakja: a∙x + b = 0 legyen.
Ehhez bontsuk fel a zárójeleket, vonjunk össze, majd minden kifejezést rendezzünk a bal oldalra. Ha hibátlanul hajtjuk végre ezeket a lépéseket, akkor az alábbi egyenlethez jutunk:

2∙x – 3 = 0

A nulla helyére írjunk y-t, majd cseréljük meg a két oldalt:

y = 2∙x – 3

Ábrázoljuk derékszögű koordináta-rendszerben a kapott lineáris függvényt:

Olvassuk le, hogy hol metszi az egyenes az x tengelyt!
Látható, hogy a metszéspont x koordinátája: (1,5).

Ellenőrizzük a kapott eredményt: helyettesítsünk az eredeti feladatban az x helyére (1,5)-et. Mivel nincs ellentmondás, ez lesz a feladat megoldása is.

x = (1,5)

 

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.