Két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása – Grafikus megoldás

Mit jelent a grafikus megoldás? Milyen pontos a grafikus megoldás? Mely egyenletrendszereket tudjuk grafikusan megoldani? Milyen lépések szükségesek az egyenletrendszerek grafikus megoldásához?
Többek között ezekre a kérdésekre találja meg a választ az alábbi bejegyzésben…

Mit jelent a grafikus megoldás?

Az egyenletrendszerben szereplő egyenleteket, mint függvényeket ábrázoljuk ugyanabban a derékszögű koordináta-rendszerben. A megoldást azon pontok jelentik, mely pontokban a két függvény metszi egymást. Ennek a metszéspontnak az x koordinátája adja az egyenletrendszer x változójának az értékét, a metszéspont y koordinátája pedig az egyenletrendszer y változójának az értékét.
Tehát az egyenletrendszer megoldása nem más, mint a két függvény metszéspontjának (vagy metszéspontjainak) a koordinátái.

Mennyire pontos a megoldás?

Ez teljes mértékben azon múlik, hogy milyen pontosan tudjuk az egyes függvényeket ábrázolni, továbbá milyen pontosan tudjuk leolvasni a metszéspont(ok) koordinátáit.

Mely egyenletrendszereket célszerű grafikus módszerrel megoldani?

Azokat az egyenletrendszereket,
1.) melyekben mindkét egyenlet alakja: y = …;
2.) melyek megoldásában elég a közelítő megoldás;
3.) melyekben az egyenletek nem alakíthatók át: y = ax+b alakra
(azaz tartalmazhat nem lineáris függvényre vonatkozó elemeket,
pl.: abszolútérték, magasabb fokú függvény, reciprok-, trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus függvény…)

Továbbá azokat az egyenletrendszereket, melyeknél a feladatban szerepel az az előírás, hogy grafikusan oldjuk meg azokat. 😉

Egyenletrendszer grafikus megoldása – lépésenként

0.) Ahhoz, hogy könnyedén tudjuk alkalmazni ezt a módszert, célszerű a változókat x-szel és y-nal jelölni, hiszen a derékszögű koordináta-rendszerben is ezt a jelölést használjuk.

1.) Ha ez megtörtént, akkor mindkét egyenletet alakítsuk úgy, hogy “y = …” alakú legyen.

2.) Készítsünk egy “jó” derékszögű koordináta-rendszert.
(Erről részletesen a Koordinátageometria – bevezetés című bejegyzésben olvashat.)

3.) Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben mindkét függvényt (egyenletet).

4.) Keressük meg a két függvény metszéspontját/metszéspontjait.

5.) Olvassuk le a metszéspontok (x;y) koordinátáit. (Ahány metszéspont, annyi megoldása lesz az egyenletrendszernek.)

6.) Ellenőrizzük a kapott megoldásokat (x-y számpárokat), majd ha nem találunk ellentmondást, írjuk fel az egyenletrendszer megoldását/megoldásait. (Ügyeljünk arra, hogy az ilyenkor tapasztalható esetleges eltérés egy adott ε értéknél – mint maximális eltérésnél – kisebb legyen. Az esetleges eltérés az ábrázolás és a leolvasás finomításával csökkenthető.)

Egyenletrendszer grafikus megoldása a gyakorlatban

 

Feladat:
Oldjuk meg grafikusan az alábbi egyenletrendszert!
y = 0,5∙x + 1
y = |x+2| – 3

A feladat megoldásához készítsünk derékszögű koordináta-rendszert, majd ábrázoljuk benne a két függvényt! (Az alábbi ábrán az első egyenlethez tartozó függvény kék, míg a másodikhoz tartozó függvény zöld színű.)
Látható, hogy a függvények két helyen metszik egymást, ezért az egyenletrendszernek két megoldása lesz: a két metszéspont koordinátái.

Olvassuk le a metszéspontok koordinátáit:

M1 (-4; -1)
M2 (4; 3)

Ellenőrzéssel győződjünk meg arról, hogy a kapott számpárok külön-külön megoldásai az egyenleteknek, azaz megoldásai az egyenletrendszernek. Mivel ennek folyamán nem ütközünk ellentmondásba, ezért felírhatjuk az egyenletrendszer megoldását:

M1 {x1 = (-4); y1 = (-1)}
M2 {x2 = 4; y2 = 3}

 

Címke , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.