Két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása – Egyenlő együtthatók módszere

Az egyenletrendszereket megoldhatjuk az egynlő együtthatók módszerével is.
Mi az az egyenlő együttható? Milyen lépéseket hajtsunk végre ahhoz, hogy eljussunk a hibátlan végeredményhez? Melyek azok az egyenletrendszerek, amelyeknél célszerű ezt a módszert használni? Hogyan lehet tetszőleges egyenletrendszert megoldani ezzel a módszerrel?
A válaszok megtalálhatók a bejegyzésben …

Egyenlő együttható jelentése

Az együttható az algebrai kifejezéseknél fordul elő először, mely szerint az egytagú algebrai kifejezést bonthatjuk együtthatóra és változóra. A változó(k) a kifejezésben található “betűk”, az együtthatót pedig a fennmaradó számok alkotják.

Pl.: 3∙x² (= 3∙x∙x)

Változó: x
Együttható: 3

Megjegyzés:
Ha az algebrai kifejezésben nem szerepel szám, akkor az együttható 1.

Az egyenlő együttható a mi esetünkben azt jelenti, hogy az egyenletrendszerben van olyan változó, melynek együtthatójának abszolútértéke mindkét egyenletben ugyanannyi.

Mikor célszerű az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazni?

A válasz kézenfekvő: ha az egyenletrendszerben van olyan változó, melynek együtthatójának abszolútértéke mindkét egyenletben ugyanannyi. Ez azt jelenti, hogy az együtthatók lehetnek egyenlők is, de lehetnek egymásnak ellentettjei is.

Milyen lépéseket hajtsunk végre?

1.) A könnyebb átláthatóság végett először is rendezzük az egyenletrendszerben szereplő tagokat úgy, hogy az egyforma változókat tartalmazó kifejezések egymás alá kerüljenek.

2.) Ha ezzel megvagyunk, akkor az egyenletrendszerben szereplő két egyenletet adjuk össze vagy vonjuk ki egymásból, attól függően, hogy az kiválasztott változó együtthatói egymásnak ellentettjei vagy egyenlők.
Ha az együtthatók egyenlők, akkor vonjuk ki az egyenleteket, ha pedig egymás ellentettjei, akkor adjuk össze azokat.

3.) Ennek eredményeként a kiválasztott változó együtthatója nulla lesz, azaz “eltűnik” az egyenletből, s így már csak egy ismeretlen marad az egyenletben, amit korábbi ismereteink alapján könnyedén meg tudunk oldani.

4.) Ismerjük tehát az egyik változó értékét. Már csak a másik hiányzik. Ehhez az eredeti egyenletek közül válasszuk ki a számunkra szimpatikusabbat, majd a kapott értéket helyettesítsük be a megfelelő ismeretlen helyére. Ennek következtében újra csak egy ismeretlen lesz az egyenletben, amit szintén könnyedén ki tudunk számolni.

5.) Nincs más hátra, mint az ellenőrzés. Ha a kapott értékeket mindkét egyenletbe helyettesítve és kiszámolva nem kapunk ellentmondást, akkor fel lehet írni a feladat végeredményét, különben meg kell keresnünk a hibás lépést, számolást, ha szükséges, vissza kell lépni a kiindulóponthoz, akár addig, hogy jól írtuk-e le a feladatot.

Egyenlő együtthatók módszerének alkalmazása a gyakorlatban

 

1. feladat:
Oldja meg az egyenlő együtthatók módszerével az alábbi egyenletrendszert!
4x – 3y = 17
5x + 3y = 1

Látható, hogy a megfelelő kifejezések (változók és konstans értékek) egymás alatt vannak.

Vizsgáljuk meg a változókat:
x: Az együttható az egyik egyenletben 4, a másikban 5. Ezek abszolútértékei nem egyenlők.
y: Az együtthatók: (-3) és 3, melyek abszolútértékei egyenlők.

Ez azt jelenti, hogy az y lesz az a változó, melynek az együtthatói határozzák meg, hogy az egyenleteket összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.
Mivel ezek az együtthatók egymás ellentettjei, ezért az egyenleteket összeadjuk, s az alábbi immár egy ismeretlenes egyenlethez jutunk:

9x + 0y= 18

(Mivel a “0y” nulla, így annak felírását el is szoktuk hagyni, tehát a fenti egyenletet gyakorlatilag a “9x = 18″ alakban írjuk.)

Ebből könnyedén meg tudjuk határozni az x értékét, ami ebben az esetben x = 2.

A kapott értéket helyettesítsük be (most) a második egyenletbe: 5∙2 + 3y = 1
Ebből kiszámítva, rendezve, mindkét oldalt rendezve azt kapjuk, hogy y = (-3)

Az ellenőrzéshez mindkét egyenletbe helyettesítsük az x = 2 és y = (-3) értékeket. Mivel nem jutunk ellentmondásra, ezért felírhatjuk az egyenletrendszer megoldását:
M: {x = 2; y = (-3)}; vagy röviden: M:{2; -3}

Hogyan tudunk tetszőleges együtthatójú egyenletrendszert megoldani az egyenlő együtthatók módszerével?

Ha az egyenletekben nincs olyan változó, melynek az együtthatójának az abszolútértéke mindkét egyenletben ugyanannyi lenne, akkor nekünk kell ilyen egyenletté “varázsolnunk” azokat.
A varázslat ebben az esetben azt jelenti, hogy az egyik, vagy mindkét egyenletet megszorozzuk egy általunk, jól megválasztott számmal.
Ehhez szintén kiválasztunk egy változót, majd megvizsgáljuk az együtthatóit mindkét egyenletben. A célunk az, hogy a kiválasztott változó együtthatójának abszolútértéke mindkét egyenletben egyenlő legyen.

A módszer a következő:
Határozzuk meg a kiválasztott változó jelenlegi (az egyenletrendszerben szereplő) együtthatóinak a legkisebb közös többszörösét! (LKKT)
Mennyivel kell megszorozni az első egyenletben szereplő együtthatót, hogy az előbb kapott legkisebb közös többszöröst megkapjuk? Ezzel az értékkel kell megszorozni az első egyenletet.
Mennyivel kell megszorozni a második egyenletben szereplő együtthatót, hogy az előbb kapott legkisebb közös többszöröst megkapjuk? Ezzel az értékkel kell megszorozni a második egyenletet.

Végezzük el az egyenletek szorzását (természetesen külön-külön), majd folytassuk a módszer alkalmazását az egyenletek összeadásával, illetve kivonásával, stb.

Egyenlő együtthatók módszerének “erőltetése” a gyakorlatban

 

2. feladat:
Oldja meg az alábbi egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével!
6x + 5y = 13
8x + 3y = (-1)

Az általam választott változó: x.
Az együtthatók: 6 és 8, melyek legkisebb közös többszöröse a 24. Ez azt jelenti, hogy az első egyenletet 4-gyel (24:6 = 4), a második egyenletet 3-mal (24:8 = 3) kell megszorozni.

Ha elvégezzük az egyenletek szorzását, akkor az alábbi egyenletrendszerhez jutunk:

24x + 20y = 52
24x + 9y = (-3)

Mivel az együtthatók ebben az esetben egyenlők, az egyenleteket ki kell vonnunk egymásból, mégpedig javaslom, hogy az első egyenletből vonjuk ki a másodikat. (A műveletet, valamint az irányt célszerű nyillal jelölni az egyenletek mellett!)

Folytatva az egyenlő együtthatók módszerét először az y = 5, majd az x = (-2) eredményekhez jutunk.
Ellenőrzés után a feladat megoldása:
M = {x = (-2); y = 5}

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.