Két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása – Behelyettesítéses módszer (2)

Az előző bejegyzésben megismerkedhettünk a behelyettesítéses módszerrel. Ennek alapján az egyik egyenletből kifejezett ismeretlenre kapott kifejezést helyettesítsük be a másik egyenletbe, mégpedig ugyanannak az ismeretlennek a helyére.
A mai alkalommal ennek egy speciális esetét fogjuk megvizsgálni.

A behelyettesítő módszer speciális esetének értelmezése

Vannak olyan egyenletrendszerek, melyekben az egyik egyenletben valamely ismeretlen együtthatója 1, továbbá a másik egyenletből is nagyon könnyen ki tudjuk fejezni ennek a változónak az értékét.
Ilyen esetekben ezt a speciális megoldást szoktuk választani.

Válasszunk ki egy ismeretlent, majd mindkét egyenletből fejezzük ki ennek az értékét.
Mivel ekkor mindkét kifejezés ugyanazzal az ismeretlennel egyenlő, ezért a kapott kifejezések egymással is egyenlők kell, hogy legyenek.

Tehát az egyenletet, amiben már csak egy ismeretlen szerepel, úgy kapjuk, hogy az előbb kapott kifejezéseket egymással egyenlővé tesszük.
Ezt az egyenletet már könnyedén meg tudjuk oldani, s a másik ismeretlenre fogunk kapni egy eredményt.
Mivel az egyenletrendszer megoldása egy számpár, meg kell keresnünk a másik ismeretlen értékét is.
Azt úgy tudjuk a legegyszerűbben meghatározni, hogy a korábban felírt kifejezések közül az “egyszerűbbet” választva, behelyettesítjük a másik ismeretlenre kapott értéket, majd kiszámítjuk a műveletsor értékét.

Természetesen nem maradhat el a feladat ellenőrzése, majd, ha nincs ellentmondás, akkor a végeredmény felírása.

Függvények metszéspontjának kiszámítása

A másik helyzet, amikor ezzel a módszerrel jutunk el a megoldáshoz, amikor két, képletével adott függvény metszéspontját kell megkeresni. Ilyenkor ugyanis a hozzárendelés szabályának felírása az alábbi formában szokott történni:

y = {egyik függvény hozzárendelési szabálya}
y = {másik függvény hozzárendelési szabálya}

Tehát gyakorlatilag már ki is van fejezve mindkét egyenletből ugyanaz az ismeretlen, nekünk nincs is más feladatunk, minthogy ezeket egymással egyenlővé téve megoldjuk a kapott (egy ismeretlent tartalmazó) egyenletet, majd visszahelyettesítjük az egyik egyenletbe, kiszámítjuk, ellenőrizzük és végül felírjuk a megoldást.

A behelyettesítő módszer speciális esetének gyakorlati alkalmazása

Legyen a feladatunk a következő:

Mely pontokban metszi egymást a következő két függvény?
y = 4x – 5
y = -3x + 9

Mivel mindkét kifejezés az y-nal egyenlő, (az y pedig egyenlő az y-nal,) ezért ezek egymással is egyenlők kell, hogy legyenek, azaz a feladat következő lépésében az alábbi egyenletet kell megoldanunk:

4x – 5 = -3x + 9

Ebből azt kapjuk, hogy

x = 2

Helyettesítsük vissza az egyik egyenletben a kapott értéket.
A magam részéről az első egyenletet választanám, mivel a másodikban szerepel negatív számmal való szorzás. Nem mintha ezzel nem tudnánk kiszámítani a másik ismeretlen értékét, de, ha tehetjük, akkor kerüljük el az esetleges hibaforrásokat.

Tehát megkapjuk a másik ismeretlen értékét is:

y = 3

Mindkét egyenletbe visszahelyettesítve a kapott értékeket, igaz állításokat kapunk, tehát felírhatjuk a feladat megoldását:

M = {x = 2; y = 3}

Tehát a két függvény metszéspontjának koordinátái: M(2; 3).
 

Címke , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.