Az egyenletrendszerek megoldásánál legtöbbször ezt a módszert alkalmazzuk, talán azért, mert könnyen (vagy könnyebben) algoritmizálható más módszerekkel szemben.
Mit jelent a behelyettesítéses módszer?
Már az algebrai kifejezéseknél is előfordult, hogy behelyettesítést kellet végezni, ami azt jelentette, hogy a kifejezésben szereplő ismeretlenek helyére egy-egy adott értéket kellett beírni (helyettesíteni).
Ezt fogjuk tenni az egyenletek esetében is.
A módszer lépései nagyon röviden:
1.) Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent.
2.) A kapott kifejezést behelyettesítjük a másik egyenletbe, (mégpedig az első lépésben kifejezett ismeretlen helyére,) majd megoldjuk az így már csak egy ismeretlent tartalmazó egyenletet.
3.) A kapott eredményt visszahelyettesítjük az első lépésben kapott kifejezésbe.
4.) A két ismeretlenre (a 2. és 3. lépésben) kapott eredményt mindkét egyenletbe helyettesítve ellenőrizzük, hogy valóban “igaz” állításokat kapunk-e.
5.) Felírjuk a feladat végeredményét.
A (be-) helyettesítéses módszer alkalmazása – gyakorlat
A két ismeretlenes egyenletrendszerek esetében legalább két egyenletre van szükség ahhoz, hogy a két ismeretlenre egyértelmű, azaz pontosan egy megoldást (számpárt) kaphassunk.
Megjegyzés:
A két egyenlet megléte szükséges, de nem elégséges feltétel, ugyanis előfordulhat olyan eset, hogy az egyik egyenletből indulva, ekvivalens átalakításokkal eljuthatunk a másik egyenlethez. Ekkor a feladatnak nem csak egy számpár lesz a megoldása.
Nézzük tehát a következő feladatot, s oldjuk meg a valós számok halmazán:
2x – y = 1
5x + 2y = 25
A feladat megoldása az alábbi lépésekből állhat:
1.) Először az első egyenletből (ekvivalens átalakításokkal) fejezzük ki az y értékét:
y = 2x–1
2/a.) A kapott eredményt helyettesítsük be a második egyenletbe, az y helyére:
2x + 2∙(2x – 1) = 25
2/b.) Majd oldjuk meg ezt az egyenletet:
x = 3
3.) Ennek segítségével számítsuk ki az y értékét:
y = 2x – 1 = 2∙3 – 1 = 5
4.) Mindkét egyenletbe helyettesítve ellenőrizzük a kapott értékeket:
2∙3 – 5 = 1
5∙3 + 2∙5 = 25
5.) Ha az ellenőrzésnél nem jutottunk ellentmondáshoz, írjuk fel a feladat végeredményét:
M = {x = 3; y = 5}
Már csak a módszer gyakorlására van szükség…
