Két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása – Behelyettesítéses módszer (1)

Az egyenletrendszerek megoldásánál legtöbbször ezt a módszert alkalmazzuk, talán azért, mert könnyen (vagy könnyebben) algoritmizálható más módszerekkel szemben.

Mit jelent a behelyettesítéses módszer?

Már az algebrai kifejezéseknél is előfordult, hogy behelyettesítést kellet végezni, ami azt jelentette, hogy a kifejezésben szereplő ismeretlenek helyére egy-egy adott értéket kellett beírni (helyettesíteni).

Ezt fogjuk tenni az egyenletek esetében is.

A módszer lépései nagyon röviden:
1.) Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent.
2.) A kapott kifejezést behelyettesítjük a másik egyenletbe, (mégpedig az első lépésben kifejezett ismeretlen helyére,) majd megoldjuk az így már csak egy ismeretlent tartalmazó egyenletet.
3.) A kapott eredményt visszahelyettesítjük az első lépésben kapott kifejezésbe.
4.) A két ismeretlenre (a 2. és 3. lépésben) kapott eredményt mindkét egyenletbe helyettesítve ellenőrizzük, hogy valóban “igaz” állításokat kapunk-e.
5.) Felírjuk a feladat végeredményét.

A (be-) helyettesítéses módszer alkalmazása – gyakorlat

A két ismeretlenes egyenletrendszerek esetében legalább két egyenletre van szükség ahhoz, hogy a két ismeretlenre egyértelmű, azaz pontosan egy megoldást (számpárt) kaphassunk.

Megjegyzés:
A két egyenlet megléte szükséges, de nem elégséges feltétel, ugyanis előfordulhat olyan eset, hogy az egyik egyenletből indulva, ekvivalens átalakításokkal eljuthatunk a másik egyenlethez. Ekkor a feladatnak nem csak egy számpár lesz a megoldása.

Nézzük tehát a következő feladatot, s oldjuk meg a valós számok halmazán:

  2x – y = 1
5x + 2y = 25

A feladat megoldása az alábbi lépésekből állhat:
1.) Először az első egyenletből (ekvivalens átalakításokkal) fejezzük ki az y értékét:

y = 2x–1

2/a.) A kapott eredményt helyettesítsük be a második egyenletbe, az y helyére:

2x + 2∙(2x – 1) = 25

2/b.) Majd oldjuk meg ezt az egyenletet:

x = 3

3.) Ennek segítségével számítsuk ki az y értékét:

y = 2x – 1 = 2∙3 – 1 = 5

4.) Mindkét egyenletbe helyettesítve ellenőrizzük a kapott értékeket:

2∙3 – 5 = 1
5∙3 + 2∙5 = 25

5.) Ha az ellenőrzésnél nem jutottunk ellentmondáshoz, írjuk fel a feladat végeredményét:

M = {x = 3; y = 5}

Már csak a módszer gyakorlására van szükség…
 

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.