Logaritmikus egyenlet megoldása – a logaritmus azonosságainak felhasználásával

Azokat a logaritmikus egyenleteket, melyek egyik oldalán csak 1 db logaritmus van, a másik oldalon pedig egy szám, azokat a logaritmus definíciójának segítségével könnyedén meg tudjuk oldani. (Logaritmikus egyenlet megoldása – a logaritmus szabályának alkalmazásával)
Mit tegyünk, ha mindkét oldalon van egy vagy több logaritmus, vagy a logaritmus egy oldalon van ugyan, de nem csak egy van belőle, hanem több? Mi a megoldáshoz vezető lehetséges út, ha logaritmusok összege, különbsége, szám-szorosa szerepel az egyenletben?

Logaritmus azonosságainak alkalmazása

A logaritmusok esetében alapvetően néhány azonosság ismeretével a legtöbb egyenletet meg tudjuk oldani. Az alábbiakban összefoglalom azokat az azonosságokat, melyeket általában felhasználhatjuk a logaritmikus egyenletek megoldása során:

1.:

2.:

3.:

4.:

 

1. Logaritmusok összege szerepel az egyenletben

Ebben az esetben az 1. azonosság segítségével az egyes logaritmusok argumentumainak vesszük a szorzatát, majd azok logaritmusát tesszük egyenlővé a másik oldalon található kifejezéssel.

1. feladat:
lg x + lg (x-2) = 3

Tegyünk kikötéseket!
Fontos, hogy az eredeti feladatra vonatkozó kikötéseket írjuk fel. Ebben az esetben mindkét logaritmus alapján készítsük el a kikötést.

x > 0, és x-2 > 0

Ezekből természetesen majd az

x > 2

lesz a feladatra vonatkozó kikötésünk.

Ezek után nekiláthatunk a feladat megoldásának, mégpedig a logaritmus 1. azonossága alapján az alábbi egyenlethez jutunk:

lg x(x-2) = 3

Elértük, hogy egy logaritmus egyenlő legyen egy számmal. Ezt azért “kedvelhetjük”, mert a logaritmus szabályának alkalmazásával (lásd: előző bejegyzés) az alábbi egyenlethez jutunk:

x(x-2) = 10^3

Az így kapott egyenlet már nem tartalmaz logaritmust. Zárójel felbontása, majd nullára redukálás után a másodfokú egyenlet megoldóképletével juthatunk a két megoldáshoz: x1 ≈ 32,64; x2 ≈ (-30,64).

Összehasonlítva a feladat elején tett kikötéssel láthatjuk, hogy a két gyök közül csak az egyik lehet a feladatnak megoldása, amiről pedig ellenőrzéssel beláthatjuk, hogy valóban igazzá teszi az állítást, így az egyenlet megoldása: x = 1 + √1001 ≈ 31,64.

2. Logaritmusok különbsége szerepel az egyenletben

Ekkor a 2. azonosságot fogjuk használni, az előző feladatban látottakhoz hasonló módon.

2. feladat:
lg x – lg (x-3) = 1

A szükséges kikötések megtétele után alkalmazzuk a logaritmusok különbségére vonatkozó logaritmus azonosságot:

lg [x / (x-3)] = 1

Ekkor alkalmazzuk a logaritmus szabályára vonatkozó ismereteinket:

x / (x-3) = 10^1
x / (x-3) = 10

Ebből az egyenletből is száműztük a logaritmust; mindkét oldalt szorozva (x-3)-mal, majd zárójelfelbontás, összevonás, rendezés után meg is kapjuk az x értékét, ami ebben az esetben x = 10 / 3.
Mivel a kapott eredmény eleget tesz a kikötésnek, valamint az ellenőrzés folyamán sem jutunk ellentmondáshoz, így a feladat megoldása: x = 10/3.

3. Logaritmus szám-szorosa szerepel az egyenletben

Abban az esetben, ha csak egy ilyen szerepel az egyenletben, akkor mindkét oldalt osztjuk a logaritmus előtti számmal, majd a logaritmus szabályát alkalmazva meg tudjuk oldani a feladatot.

Ha az egyenletben több ilyen tag szerepel, akkor van szükségünk a 3. azonosság alkalmazására, melynek használatát szintén egy feladaton keresztül fogom megmutatni:

3. feladat:

A bal oldalon található logaritmusokat a 3. azonosságnak megfelelően alakítsuk át! Ekkor az egyenlet az alábbiak szerint fog változni:

Egyszerűsítsünk:

Alkalmazzuk a logaritmusra vonatkozó 1. azonosságot:

Alkalmazzuk a logaritmus szabályának ismeretét:

Ezáltal már eltűnt a logaritmus az egyenletből, tehát – elvileg – ezzel már meg tudunk birkózni.
Végezzük el a négyzetre emelést, zárójelfelbontást, majd rendezzünk minden tagot az egyenlet egy (bal) oldalára:

x^3 – 2∙x^2 + x – 2 = 0

Vegyük észre, hogy az első két tagból ki tudunk emelni x^2-et.
Tegyük is meg, majd azt alakítsuk tovább, szorzattá:

x^2∙(x – 2) + (x – 2) = 0
(x – 2)∙(x^2 + 1) = 0

Egy szorzat akkor, és csak akkor nulla, ha valamely tényezője nulla…
Ennek alapján csak az x = 2-t kapjuk megoldásként.
Hasonlítsuk össze a feladat elején tett kikötéssel, majd ellenőrizzük a feladatba való helyettesítéssel. Ezek alapján pedig azt kapjuk, hogy az egyenletünk megoldása: x = 2.

4. Különböző alapú logaritmusok szerepelnek az egyenletben

Amennyiben ilyen feladattal állunk szemben, akkor a 4. azonosságot tudjuk alkalmazni, viszont célszerű meggondolni az egyes feladatokban, hogy az új logaritmus alapját mennyinek választjuk, ugyanis előfordulhat, hogy egy “jól” megválasztott alapszám jelentősen megkönnyíti a munkánkat.

Nézzünk ehhez is egy feladatot:

Ennél a feladatnál minden logaritmus alapszáma a √2 legyen. Ehhez a második kifejezést kell átalakítani, s ebből lesz az alábbi egyenlet:

Mivel:

ezért az egyenletnek mindkét oldalát szorozzuk 2-vel!
Az alábbi egyenlethez jutunk:

Látható, hogy az egyenlet bal oldala könnyedén szorzattá alakítható:

Mindkét oldalt osszuk el 3-mal:

Majd alkalmazzuk a logaritmus szabályára vonatkozó összefüggést:

A jobb oldalon álló kifejezést átalakítva pedig feladat végeredménye:

Összehasonlítva a feladathoz szükséges kikötéssel, majd ellenőrizve a kapott eredményt, arra a következtetésre jutunk, hogy ez lesz egyben a feladat végeredménye is.

 

Címke , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.