Logaritmikus egyenlet megoldása – a logaritmus definíciójának segítségével

Milyen a logaritmikus egyenlet? Melyek azok az egyenletek, amiket mindössze a logaritmus jelentésének ismeretében meg tudunk oldani? Hogyan tudjuk megoldani az ilyen típusú logaritmikus egyenleteket?

Hogyan lehet felismerni egy logaritmikus egyenletet?

Természetesen a legegyszerűbb módja az, ha az egyenletben szerepel a logaritmusra utaló rövidítés, ami a logaritmus alapjától függően lehet: log, lg vagy ln. Ez természetesen még nem elegendő, hiszen még szükség van legalább egy ismeretlenre is a logaritmusban, ami lehet a logaritmus alapjában, illetve a mögötte álló kifejezésben egyaránt.

A logaritmus szabályának felhasználása az egyenlet megoldásához

Aki nem tudja, vagy bizonytalan a logaritmus jelentésében, kérem, hogy tegyen egy kis kitérőt és keresse fel az erről szóló: A logaritmus fogalma, értelmezése című bejegyzést.

Az ott is olvasható értelmezés szerint:

Ezek szerint (a megfelelő kikötések figyelembe vételével):

Az a alapú logaritmus b jelenti azt a számot (x), amelyre az a-t emelve b-t kapjuk.

 

Logaritmikus egyenlet típusai, attól függően, hogy hol az ismeretlen

I. Az ismeretlen maga a logaritmus értéke:
Ebben az esetben a logaritmus értékét, azaz egy hatvány kitevőjét keressük, amit a logaritmus azonosságainak felhasználásával könnyedén ki tudunk számolni számológép segítségével. Ehhez arra az azonosságra van szükség, amelyben az adott logaritmus egyenlő más (azonos) alapú logaritmusok hányadosával.

II. Az ismeretlen a logaritmus mögött található:
Általában azonban olyan feladattal állunk szemben, amelyben a logaritmus értékét ismerjük ugyan, de a logaritmus mögötti (b) értéket nem tudjuk. Ebben az esetben átalakítjuk a logaritmusos kifejezést a fenti képletnek megfelelően, s a kapott hatvány értékét már könnyedén meg tudjuk mondani, ami éppen a feladat megoldását eredményezi.

III. Az ismeretlen a logaritmus alapjában található:
Előfordulhat olyan egyenlet is, amikor éppen a logaritmus alapját nem ismerjük. Ekkor is az előzőhöz hasonlóan járunk el, csak ezúttal a hatvány alapja lesz az ismeretlen, a kitevőt, illetve a hatványértéket pedig ismerjük.
Ezután mindkét oldalból megfelelő gyököt vonva megkapjuk a hatvány alapját, ami egyúttal a logaritmus alapja is lesz.

FONTOS!
A feladatok megoldását kezdjük a kikötések felírásával, tudva azt, hogy a logaritmus alapja (a) és argumentuma (b) csak pozitív valós szám lehet, továbbá az alap (a) nem lehet egyenlő 1-gyel. A logaritmus értéke valós szám, így arra külön kikötést nem kell tennünk.
Erre azért is szükség van, mert páros gyökvonás (négyzetgyök, negyedik-gyök, stb.) esetén kaphatunk negatív megoldás(oka)t is, amit a feladat elején felírt kikötésekkel összevetve “hamis gyökként” kell kezelnünk.

Logaritmikus egyenlet megoldása a gyakorlatban

A fenti három feladattípusnak megfelelően álljon itt három feladat a megoldásukkal együtt.

          1. feladat:

Mivel látjuk, hogy a kikötésnek eleget tesz mind az alap, mind az argumentum, ezért nekiláthatunk a megoldásának, s ebben az esetben a logaritmus más (pl. a számológépen is megtalálható 10-es vagy e) alapban való felírását fogjuk alkalmazni.

Általánosan:

Behelyettesítve:

Ellenőrzés után azt kapjuk, hogy a feladat megoldása: x ≈ 3,17.

          2. feladat:

Először írjuk fel a kikötéseket!
Látható, hogy csak az argumentumra kell ezt megtennünk:
x > 0

Ezután a logaritmus szabályának megfelelően írjuk fel hatványalakban:
2^5 = x

Végül számítsuk ki a hatvány értékét:
32 = x

Mivel a kapott eredmény a kikötésnek és az ellenőrzésnek is eleget tesz,
ezért az x = 32 lesz az egyenlet megoldása.

          3. feladat:

Kikötés:
x > 0 és x ≠ 1

Hatványalak:
x^4 = 15

Mindkét oldalból vonjunk negyedik gyököt:

x1 ≈ 1,97
x2 ≈ (-1,97)

Hasonlítsuk össze a kikötéssel:
x1 > 0 és x1 ≠ 1?
– Igen   »»»   megoldás.

x2 > 0 és x2 ≠ 1?
– Nem   »»»   hamis gyök.

Ellenőrzés után pedig kijelenthetjük, hogy a feladat végeredménye: x ≈ 1,97.

 

Címke , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.