Exponenciális egyenletek megoldása – logaritmus segítségével

Mikor tudjuk, illetve mikor célszerű ezt a módszert használni? Hogyan alkalmazhatjuk e módszert a gyakorlatban? Milyen apróságokra kell tekintettel lennünk?

Mikor használjunk logaritmust az exponenciális egyenletek megoldása során?

Két héttel (bejegyzéssel) ezelőtt arról beszéltünk, hogy át kell alakítani az exponenciális egyenletet úgy, hogy mindkét oldalon egy-egy, azonos alapú hatvány álljon. A bejegyzés itt olvasható: Exponenciális egyenletek megoldása – azonos alapú hatványok segítségével
Azonban ezt nem tudjuk minden esetben elérni, így előfordul, hogy olyan egyenlethez jutunk, melynek mindkét oldalán ugyan egy-egy hatvány áll, de az alapjaik (és a kitevőjük is) különbözők.

Ennek az egyenletnek az általános alakja:

a^n = b^m, ahol a ≠ b, n ≠ m

Ahhoz, hogy ebből a “szokásos” egyenletünk legyen, tekintsük ismeretlennek (x) az n értékét, illetve ismert értéknek (számnak) az a, b, m értékét. Ekkor az alábbi paraméteres egyenlethez jutunk, melyből “csak” az x értékét nem ismerjük, sőt, azt szeretnénk kiszámítani:

a^x = b^m

Megjegyzés:
Ha a jobb oldalon egy olyan szám áll, melyet nem tudunk felírni a bal oldalon szereplő hatványalap segítségével hatványként, akkor is ugyanezzel az esettel állunk szemben. Ekkor a jobb oldalon az m helyére 1-et helyettesítve (a b helyére pedig magát a számot,) ugyanehhez az alakhoz jutunk.

Mit tegyünk ilyenkor?

Elsőre lehet, hogy az jut eszünkbe, fussunk el, de jó messzire, ám azzal mégsem leszünk előrébb. Helyette inkább vegyük mindkét oldal (megfelelő alapú) logaritmusát.

Ez miért jó nekünk?
Azért, mert a fenti egyenletből azt kapjuk, hogy

log c (a^x) = log c (b^m)

(Ejtsd: c alapú logaritmus a az x-ediken egyenlő c alapú logaritmus b az m-ediken.)

Alkalmazzuk a logaritmus azonosságai közül azt, amely a hatvány logaritmusára vonatkozik:

log c (a^n) = n ∙ log c (a)

Ha ennek alapján felírjuk a paraméteres egyenletet, akkor:

x ∙ log c (a) = m ∙ log c (b)

Ezután az egyenlet mindkét oldalát osszuk log c (a)-val:

x = [m ∙ log c (b)] : [log c (a)]

Mivel a jobb oldalon csak számok, illetve azok logaritmusa szerepel, annak értékét meg tudjuk határozni, s ezek segítségével megkapjuk az x értékét is.

Általánosság után jöjjön a konkrét alkalmazás

Tegyük fel, hogy egy exponenciális egyenletet az alábbi alakra tudunk átalakítani:

3^x = 5

(Látható, hogy a jobb oldalon – a fenti általános esettel ellentétben – nem hatvány, hanem “csak” egy szám áll. Ez nem mond ellent a fentieknek (lásd a fenti megjegyzést), hiszen, ha b=5, m=1, akkor éppen ehhez az eredményhez jutunk.)

Ebben az esetben vegyük mindkét oldal 3-as alapú logaritmusát:

log 3 (3^x) = log 3 (5)

Az egyenlet bal oldalán tudjuk alkalmazni a logaritmus fenti azonosságát:

 x ∙ log 3 (3) = log 3 (5)

Mivel a log 3 (3) = 1, ezért a kapott egyenlet egyenlő a következővel:

x = log 3 (5)

Ezzel eljutottunk a pontos végeredményhez.
Amennyiben szeretnénk tudni ennek a kerekített értékét, ahhoz újra a logaritmus azonosságait kell megkeresnünk a négyjegyű függvénytáblában (vagy egyéb helyen):

log a (b) = [log c (b)] : [log c (a)]

Ezzel az azonossággal alakítsuk át 10-es (vagy természetes [e]) alapú logaritmussá, mert ennek értékét számológép segítségével ki tudjuk számolni:

log 3 (5) = [log 10 (5)] : [log 10 (3)] = [lg 5] : [lg 3] ≈ 1,465
x ≈ 1,465

 

Címke , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.