Exponenciális egyenletek megoldása – új ismeretlen bevezetésével

Vannak olyan esetek, amikor nem tudjuk átalakítani az exponenciális egyenletet úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalán egy-egy azonos alapú hatvány álljon. Ilyenkor előfordulhat, hogy új ismeretlen bevezetésével azonban mégis meg tudjuk oldani az egyenletet, egy már korábban megismert módszer segítségével.

Mikor tudjuk alkalmazni ezt a módszert?

A legegyszerűbb eset az, amikor az új változó értéke a^x, azaz pl. y = a^x. Ilyenkor az exponenciális egyenletben szereplő a^x helyére mindenütt y kerül, melyre már “könnyedén” meg tudjuk oldani az új egyenletet. Az így kapott feladat természetesen már nem exponenciális egyenlet lesz, hanem – nehézségi foktól függően – első-, másodfokú, trigonometrikus, abszolútértékes, vagy logaritmikus egyenlet.
Ha már a bevezetett új változónak ismerjük az értékét, akkor abból még ki kell számítani az eredeti ismeretlen értékét is, amivel el is juthatunk a feladat lehetséges megoldásaihoz.
Ahhoz, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a kapott eredmény(ek) valóban megoldása(i) a feladatnak, erőteljesen javallott az(oka)t – az eredeti egyenletbe helyettesítve – ellenőrizni.

Új ismeretlen bevezetése a gyakorlatban

Azt gondolom, hogy a fenti bekezdés elég misztikusnak tűnhet, így számok, betűk nélkül, ezért gyorsan nézzünk rá egy feladatot, hogy lássuk a fentiek egyszerűségét, nyilvánvalóságát.

1. feladat:
4^x + 2^(x+3) = 128

Ebben a feladatban látható, hogy a bal oldalon egy összeg található, ráadásul mindkét tagja hatvány, melyek alapjai különböznek. Ám észre vehetjük azt is, hogy egyrészt a 4 felírható hatványalakban: 4 = 2^2, másrészt pedig a hatványozás azonosságainak felhasználásával a 2^(x+3) hatvány megegyezik a 2^3 ∙ 2^x szorzattal.

Ez alapján sejthetjük, hogyha a 2^x helyett egy új ismeretlen lenne, akkor azt az új egyenletet gyorsan meg tudnánk oldani.
Tehát az elsődleges feladatunk most az lesz, hogy az összes x-et tartalmazó kifejezést átalakítsuk oly módon, hogy abban a 2^x szerepeljen.

Ehhez az alábbi átalakításokat tudjuk elvégezni (tagonként):

4^x = (2^2)^x = 2^(2x) = 2^(x∙2) = (2^x)^2
2^(x+3) = 2^x ∙ 2^3 = 8 ∙ 2^x

Írjuk be a kapott kifejezéseket az eredeti exponenciális egyenlet megfelelő tagjainak helyére:

   4^x   + 2^(x+3) = 128
(2^x)^2 + 8∙(2^x)  = 128

Ebből már egyértelműen látható, hogyha bevezethetjük az új változót (y), mégpedig az előbb említett 2^x helyett, akkor az alábbi másodfokú egyenlethez jutunk: (nullára redukálás után)

y^2 + 8∙y – 128 = 0

A másodfokú egyenlet megoldóképletében szereplő értékek (ebben az esetben) a következők: a = 1, b = 8, c = (-128). Az egyenlet megoldásai pedig:

y1 = 8
y2 = (-16)

Látható, hogy a kapott eredmény “csak” részeredmény, hiszen az eredeti feladatban nem az y, hanem az x volt az ismeretlen, ezért a kapott eredményeket be kell helyettesítenünk az új változó bevezetésénél megadott egyenletbe.
Ebben a feladatban az y = 2^x helyettesítést végeztük, továbbá tudjuk, hogy az y milyen értékkel lehet egyenlő, így az alábbi egyenleteket kapjuk:

     y = 2^x

1.) y = 8, behelyettesítve:
8 = 2^x

2.) y = (-16), behelyettesítve:
-16 = 2^x

A kapott egyenletek megoldásával az “x = 3“, illetve a “Nincs megoldás” eredményekhez jutunk, amiből az eredeti exponenciális feladat megoldása: x = 3 lesz. Ennek helyességét ellenőrzéssel igazolhatjuk.

A módszer alkalmazása során végrehajtandó lépések

A fenti feladat alapján látható, hogy az exponenciális egyenlet megoldása egy új változó bevezetésével az alábbi lépésekből áll:
1.) a hatványozás azonosságainak segítségével átalakítjuk az egyenletet,
2.) az új változó bevezetésével egy másodfokú egyenlethez jutottunk,
3.) megoldottuk a másodfokú egyenletet,
4.) a kapott megoldásokat behelyettesítettük az új változó bevezetésekor felírt egyenletbe,
5.) megoldottuk az így kapott új egyenlete(ke)t, végül
6.) a kapott eredményeket az eredeti egyenletbe helyettesítve ellenőriztük a megoldást.

E lépések alkalmazhatók általában is ennek a módszernek a használata során, esetlegesen azzal az eltéréssel, hogy a 2.) pontban nem másodfokú egyenlethez, hanem lehet, hogy elsőfokú, trigonometrikus, abszolútértékes, logaritmikus, esetleg egy másik exponenciális egyenlethez jutunk. Így a 3.) lépésben pedig nem másodfokú, hanem a 2.) pontban kapott egyenletet kell megoldanunk.
 

Címke , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.