Exponenciális egyenletek megoldása – azonos alapú hatványok segítségével

Egyes exponenciális egyenletet meg tudunk oldani általános iskolai ismeretek segítségével. Ehhez csak a hatványozásról tanultakat kell egy kicsit felelevenítenünk.

Az exponenciális egyenlet átalakítása

Ahhoz, hogy az ilyen típusú egyenleteket a hatványozásnál tanultak felhasználásával tudjunk megoldani, ki kell tűznünk magunk elé a rész-célt, azaz “látnunk” kell magunk előtt, hogy milyen alakra szeretnénk hozni az egyenletet ahhoz, hogy onnan már meg tudjuk oldani a feladatot.

Ilyen esetben arra törekszünk, hogy az exponenciális egyenlet alakja az alábbi legyen:

a^n = a^m

Ugyanis ezt követően mondhatjuk, hogy n = m, mivel tudjuk, hogy az exponenciális függvény szigorúan monoton növő (szig. mon. nő) illetve csökkenő (szig. mon. csökk.), attól függően, hogy az egyenletben szereplő hatvány alapja (egészen pontosan annak abszolútértéke) 1-nél nagyobb, illetve 1-nél kisebb.

Fontos: Az egyenlet bal és jobb oldalán álló hatványok alapja legyen egyenlő.

Exponenciális egyenlet megoldása a gyakorlatban

 

1. feladat:
2^(x-3) = 32

Ebben az esetben a bal oldalon már elértük a rész-célunkat, ugyanis ott már egy hatvány található, ám a jobb oldalon még átalakítást kell végeznünk ehhez.
Tudjuk, hogy a 32 = 2^5, ezért ezzel helyettesítve az exponenciális egyenlet jobb oldalán álló 32-t, máris elértünk a kívánt rész-célunkat.:

2^(x-3) = 2^5

Mivel |2| > 1, ezért tudjuk, hogy az exponenciális függvény szigorúan monoton nő, tehát mondhatjuk, hogy:

x – 3 = 5         / +3
x = 8

Máris eljutottunk a végeredményhez, melynek helyességét ellenőrizzük, úgy, hogy a kapott értéket az eredeti egyenletbe helyettesítjük az ismeretlen helyére.

2. feladat:
4^x ∙ 2^(x+1) = 1024

Itt a bal oldalon egy szorzat, míg a jobb oldalon egy szám áll, tehát mindkét oldalon kénytelenek vagyunk átalakításokat végezni az alábbiak szerint.

Bal oldalon:

4^x ∙ 2^(x+1) = (2^2)^x ∙ 2^(x+1) = 2^(2∙x) ∙ 2^(x+1) = 2^[2x + (x+1)] = 2^(3x+1)

Jobb oldalon pedig:

1024 = 2^10

Ezek segítségével felírva az alábbi exponenciális egyenlethez jutunk:

2^(3x+1) = 2^10

Az exponenciális függvény szigorúan monoton növő (|2| > 1), ezért:

3x+1 = 10       / -1
3x = 9        / :3
x = 3

A kapott eredmény helyességét szintén az eredeti egyenletbe való helyettesítéssel kapjuk.

Mit tegyünk, ha átalakítás után a kitevő nem a∙x+b alakú

Természetesen előfordul, hogy a rész-célunk elérésekor a kitevőbe nem a fenti példákban szereplő “egyszerű”, elsőfokú kifejezések kerülnek, hanem akár magasabb fokú, illetve egyéb matematikai kifejezések, mint pl.: trigonometrikus függvények, abszolútértékes, logaritmikus vagy más exponenciális kifejezések, stb.

Ilyenkor az exponenciális egyenletet a fenti (hatvány-)alakra hozzuk, majd azt az egyenletet oldjuk meg, melyben a kitevők egyenlők egymással. Ehhez általában már ismernünk kell a másod-, illetve magasabb fokú, trigonometrikus, abszolútértékes, logaritmikus vagy exponenciális egyenletek megoldását.

Végül pedig a kapott eredményt (vagy eredményeket) az eredeti egyenletbe helyettesítve ellenőrizzük annak a helyességét.

 

Címke , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.