Koordinátageometria – két kör helyzete

Milyen helyzetben lehet egymáshoz viszonyítva két kör? Hogyan keressük meg az egyenletével adott körök metszéspontjait – koordinátageometriában? Hogyan tudjuk meghatározni a metszéspontok számának figyelembevételével, hogy a körök milyen helyzetben vannak?
A válaszokhoz csak tovább kell olvasni…

Hogyan találhatjuk meg a metszéspontokat?

Koordinátageometriában általában elmondható, hogy az alakzatok közös pontjait úgy kaphatjuk meg, ha mint egyenletrendszert oldjuk meg azok egyenleteit. Két kör esetén ez azt jelenti, hogy a két kör egyenletét, mint egyenletrendszert kell megoldanunk. Mivel ezek másodfokú egyenletek, így együtt gyakorlatilag egy másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanunk, melynek a megoldásai adják a metszéspontok koordinátáit.

Ehhez előzetes ismeret:
– az egyenletrendszer megoldása, valamint
– a másodfokú egyenlet megoldása.

Az alábbiakban az ábrán látható, hogy milyen helyzetben lehet kér kör (a kép klikkentéssel nagyítható), alatta pedig azt fogjuk megvizsgálni, hogy ezeket miként lehet felismerni az egyenletrendszer megoldását követően.

 

A két körnek mikor nincs közös pontja?

Ez abban az esetben fordulhat elő, ha az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ilyenkor a két kör az alábbi helyzetben lehet:
– Az egyik kör tartalmazza a másikat (0/a ábra), illetve
– A két kör egymás mellett található (0/b ábra).

Hogyan tudjuk megállapítani, hogy a két körre a fenti esetek közül melyik vonatkozik?

Az egyik kör csak úgy tartalmazhatja a másikat, ha a nagyobb sugarú kör tartalmazza a kisebb sugarú kört. (A körök sugarát, valamint középpontjaik koordinátáit természetesen már le tudjuk olvasni a körök egyenleteiből.)

Ahhoz, hogy ezt kijelenthessük, annak a feltételnek kell teljesülnie, hogy a két kör középpontjának a távolsága kisebb legyen, mint a nagyobb kör sugara. (Meg lehet adni szorosabb feltételt is, de ez nekünk bőven elegendő ahhoz, hogy az első állítás teljesüljön.)

Teendők:
0. Olvassuk le a körök sugarát és középpontjuk koordinátáját!
1. Állapítsuk meg a körök középpontjának a távolságát!
2. Hasonlítsuk össze a kapott távolságot, valamint a nagyobb kör sugarát!
3/a. Ha a távolság kisebb, akkor az egyik kör tartalmazza a másikat.
(Mégpedig a nagyobb sugarú kör tartalmazza a kisebbet.)
3/b. Ha a távolság nagyobb, akkor a két kör egymás mellett (kívül) található.

A két körnek mikor van egy közös pontja?

Ezzel az esettel akkor kell foglalkoznunk, ha az egyenletrendszernek 1 (egész pontosan két, egymással egyenlő) megoldása van, az pedig az érintési pont koordinátája.

Ebből tehát tudjuk, hogy a két kör érinti egymást, ám azt még nem, hogy a két kör egymást kívülről, vagy pedig az egyik (a kisebb sugarú) kör belülről érinti-e a másikat.
Ennek megállapításához meg kell vizsgálnunk a két kör középpontjának a távolságát, ugyanúgy, mint az előbb.
Ha a kapott távolság kisebb, mint a nagyobb kör sugara, akkor az egyik kör belülről érinti a másikat (1/a ábra), míg ellenkező esetben a két kör kívülről érinti egymást (1/b ábra).

A két körnek mikor van két közös pontja?

Ez az eset akkor fordul elő, amikor az egyenletrendszernek két (különböző) megoldása van. Ekkor a kapott megoldások jelentik a két körvonal metszéspontjainak a koordinátáit.
Ebben az esetben is vizsgálhatjuk, hogy a körök milyen helyzetben vannak egymáshoz viszonyítva. (Ám ilyenkor nincs túl sok jelentősége.)
A fent említett módszerrel állapítsuk meg, hogy a két kör középpontjának a távolsága hogyan viszonyul a nagyobb kör sugarához.
Ha azt tapasztaljuk, hogy a kapott távolság kisebb, mint a nagyobb kör sugara, akkor az azt jelenti, hogy a kisebb sugarú kör középpontja a másik körön belül van (2/a ábra), míg ellenkező esetben azon kívül helyezkedik el (2/b ábra).

A két körnek mikor van végtelen sok közös pontja?

Ha az egyenletrendszert megoldva azonossághoz jutunk, az számunkra azt jelenti, hogy a két körvonal fedi egymást, azaz a két körnek megegyezik a középpontja és a sugara is.
 

Címke , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.