Koordinátageometria – pontok a körvonalon belül vagy kívül

Hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy adott pont a körvonalon belül, kívül, vagy éppen a körvonalon van? Hogyan hajthatjuk végre a feladatot az Eukleidészi síkban, illetve a koordinátageometriában?

Megoldás az Eukleidészi geometriában

Szerkesztések alkalmával úgy tudjuk eldönteni, hogy egy adott pont a körvonalon belül vagy kívül helyezkedik el, ha egyrészt “látjuk”, másrészt pedig megvizsgáljuk a kör középpontjától mért távolságát.
Ha ez a távolság a kör sugár hosszánál kisebb, akkor azt mondhatjuk, hogy a pont a körvonalon belül van, ha nagyobb, akkor a körvonalon kívül helyezkedik el a síkban. Ha a pont távolsága megegyezik a sugár hosszával, akkor pedig a pont éppen a körvonalon található.

Megoldás a koordinátageometriában

Gyakorlatilag az előző módszert fogjuk alkalmazni, tehát megnézzük, azaz kiszámítjuk, hogy az adott pont, milyen messze van a kör középpontjától.
Ehhez tehát az alábbiakra van szükségünk:
– az adott pont koordinátája,
– a kör középpontjának a koordinátájára, valamint
– a két pont távolságát megadó összefüggésre.

1.) Nyilván a pont koordinátáját ismerjük, hiszen éppen erről szól a feladat.

2.) A kör középpontját már nem biztos, hogy egy az egyben látjuk a feladat szövegében, azonban a kör egyenletét valószínűleg megkapjuk. Ekkor a megfelelő alakra kell hoznunk a kör egyenletét, majd abból leolvasni a középpont koordinátáját.

3.) Ha a fenti lépésekkel megvagyunk, akkor ki kell számítani a két pont távolságát. (Erről részletesen olvashat a Vektor hossza, két pont távolsága című bejegyzésben.)
Az itt felhasználható képlet:

d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)², azaz
d = √[ (x2 – x1)² + (y2 – y1)² ]

Ezek után már csak össze kell hasonlítani a kapott eredményt (d) a sugárral (r).

Az eredmények és a következtetések az alábbiak lehetnek:

Ha d < r, akkor a pont a körvonalon BELÜL van.
Ha d > r, akkor a pont a körvonalon KÍVÜL van.
Ha d = r, akkor a pont éppen a körvonalon van.

 

Hogyan működik a módszer a gyakorlatban?

Hiába a sok-sok elméleti ismeret, ha azokat nem tudjuk alkalmazni a gyakorlatban. A gyakorlati alkalmazáshoz pedig feladatokra van szükség.
Sok feladatra.
Ez azt jelenti, hogy legalább 30 darab feladatot kell hibátlanul megoldani ahhoz, hogy mondhassuk: “Ezt a témát megértettem.”.

1. feladat:
Hol helyezkedik el a P(2; -3) koordinátájú pont a k: (x + 1) + (y – 1) = 4² egyenletű körhöz viszonyítva?

A megoldáshoz szükségünk van a P pont koordinátájára – ezt ismerjük.
Kell a kör középpontjának a koordinátája – a feladatban szereplő egyenletből leolvashatjuk, aminek alapján a kör középpontjának a koordinátája: O(-1; 1).

Most jöhet a két pont távolsága, amit a fenti képletbe helyettesítve kaphatunk meg:
x1 = 2; y1 = (-3); x2 = (-1); y2 = 1

d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)² = [(-1) – 2]² + [1 – (-3)]² = (-3)² + (4)² = 9 + 16 = 25
d = 5

Mivel a P pont távolsága a kör középpontjától 5 egység, a kör sugara pedig 4 egység,
ezért ( d=5 > r=4) mondhatjuk, hogy a P pont a körvonalon kívülre esik.

 

Címke , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.