Koordinátageometria – a kör egyenlete

A koordinátageometria témakörében hogyan tudjuk felírni a körvonalat? Ezt fogjuk hívni a kör egyenletének. Két esetet szoktunk külön választani: amikor a kör középpontja az origó, illetve amikor a kör középpontja nem az origó. Melyik körvonalhoz milyen egyenlet tartozik? Melyiket célszerű megtanulni?
A válaszok a bejegyzésben olvashatók.

A kör egyenlete

Az Eukleidészi geometriában a kör középpontja valamint a sugara ismeretében meg tudjuk szerkeszteni a megfelelő körvonalat.
Ez nincs másképp a koordinátageometriában sem, tehát, ha ismerjük a kör középpontjának koordinátáit O(u; v), továbbá a kör sugarát r, akkor ezek segítségével már fel tudjuk írni a kör egyenletét az alábbi képlet segítségével:

(x – u)² + (y – v)² = r²

Ebben az egyenletben az x és y számpár annak a “futópontnak” a koordinátája, mely rajta van a körvonalon. A kör középpontja tehát az O(u; v) pont, a sugara pedig r lesz.

1. feladat:
Írja fel annak a körnek az egyenletét, melynek középpontja az O(4; –3), a sugara pedig 5 egység!

Ebben az esetben az u = 4, a v = –3, az r = 5 számokat a kör egyenletébe helyettesítve megkapjuk a kör egyenletét:

(x – 4)² + (y + 3)² = 5²

 

Az origó közepű kör egyenlete

Az előbbi képletet fogjuk felhasználni, hiszen ismerjük a kör középpontjának koordinátáit. Ezek ráadásul egyszerűsítik a fenti képletet, hiszen az origó koordinátája O(0; 0), azaz az u és a v értéke is egyaránt nulla lesz.
Ha az előbbi képletbe behelyettesítjük az iménti értékeket, akkor azt kapjuk, hogy az origó középpontú, r sugarú kör egyenlete:

x² + y² = r²

Természetesen megjegyezni elég az első képletet, hiszen ez utóbbi annak egy változata, mindössze a kör középpontjának koordinátáit (u = 0, v = 0) kell a megfelelő helyre helyettesíteni, aminek következtében azok ki is esnek a képletből.

2. feladat:
Írja fel annak az origó középpontú körnek az egyenletét, melynek sugara 4 egység!

Ez természetesen az alábbi egyenletet jelenti:

x² + y² = 4²

 

Címke , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.