Koordinátageometria – az egyenes egyenlete

Mit kell tudnunk az egyenes egyenletéről? Mi az az irányvektor? Mit értsünk normálvektor alatt? Mire van szükség, hogy az egyenes egyenletét fel tudjuk írni? Hogyan tudjuk az egyenes egyenletére vonatkozó képleteket használni a gyakorlatban? Mit tegyünk, ha az egyenes két pontjának koordinátáit ismerjük?

Az egyenes egyenletének képlete

Ahhoz, hogy fel tudjuk írni az egyenes egyenletét, nem árt tudnunk, hogy az milyen is lehet egyáltalán.
Koordinátageometriában az alábbi két típusú képlettel szoktunk találkozni a legtöbbször:

y = m∙x + b
a∙x + b∙y = c

Értelmezzük egy kicsit:
Látható, hogy mindkét egyenletben van x és y is, amik az egyenesen elhelyezkedő pontok (ún.: futópontok) koordinátáit jelentik, továbbá találhatunk még számokat is: m, b, illetve a, b, c betűkkel jelölve. (Ezek jelentését most nem részletezem…)

Ha egyenes egyenletének a felírásáról beszélünk, akkor a feladatok többségében második egyenletet használjuk, míg függvényábrázolás esetén az első alakot részesítjük előnyben. Természetesen nem okozhat nagy problémát a két egyenlet közötti átalakítás sem, ha tisztában vagyunk az algebrából ismert egyenletrendezési technikával.

Az irányvektor és a hozzá tartozó képlet

Ha fel kell írnunk egy egyenes egyenletét, akkor azt megtehetjük irányvektor segítségével. Ám, ha nem tudjuk, hogy mi az irányvektor, akkor hiába is próbálkoznánk, csak a véletlen műve lehet a sikerünk.

Először tehát nézzük meg, hogy mi is az az irányvektor. Az egy olyan vektor, mely párhuzamos az egyenessel, melynek az egyenletére kíváncsiak vagyunk. Jele: v, ha a koordinátákat is felírjuk, akkor pedig v(v1; v2).

Ha az egyenes egyenletének felírásához az egyenes irányvektora áll rendelkezésünkre, akkor az egyenes egyenlete az alábbi képlet segítségével írható fel:

“Irányvektoros” egyenlet általános alakja:
v2∙x – v1∙y = v2∙x0 – v1∙y0

Ebben a v1, v2 értékét ismerjük az irányvektor adataiból, az x, y lesz az egyenes pontjainak a koordinátája, az x0, y0 pedig az egyenes egy adott pontjának (ún. fixpontnak) a koordinátája.

(Az alkalmazásáról az alábbiakban lesz még szó…)

A normálvektor és a hozzá tartozó képlet

Előfordulhat olyan eset, hogy az egyenes egyenletét normálvektor segítségével célszerű felírni. Persze itt is fontos, hogy tudjuk, hogy mi is az a normálvektor.
Ez egy olyan vektor, amely merőleges arra az egyenesre, melynek az egyenletét fel szeretnénk írni. Jelölése: n, ha a koordináták is szerepelnek, akkor pedig n(A; B).

Ebben az esetben (ha az egyeneshez tartozó normálvektort ismerjük) az egyenes egyenletének felírásához az alábbi képletet használhatjuk fel:

“Normálvektoros” egyenlet általános alakja:
A∙x + B∙y = A∙x0 + B∙y0

Ebben az egyenletben az A, B értékét ismerjük a normálvektor adataiból, az x, y lesz az egyenes pontjainak a koordinátája, az x0, y0 pedig az egyenes egy adott pontjának (ún. fixpontnak) a koordinátája.

Az egyenes egyenletének felírása

Most, hogy már tudjuk, hogy mi az irányvektor, normálvektor, valamint ismerjük a hozzájuk tartozó megfelelő képleteket is, nekiláthatunk az egyenes egyenletének tényleges felírásához.

Mi kell egy egyenes egyenletének a meghatározásához?

1) Pont,
2) Vektor.

Semmi több. Miért?

Nos, először nézzük meg, hogy mi a feladat?
Készítsünk olyan egyenest, mely párhuzamos az adott vektorral és áthalad az adott ponton, VAGY készítsünk olyan egyenest, mely merőleges az adott vektorra és áthalad az adott ponton!

Ha van egy pontunk és egy vektorunk, akkor azokból az Eukleidészi síkon (körző/vonalzó segítségével) el tudjuk készíteni a megfelelő egyenest?

Ha van egy pont a síkban, továbbá adott egy vektor is (az egyszerűség kedvéért a pont és a vektor alkossa a vizsgált síkot), akkor az adott vektorral párhuzamos VAGY a vektorra merőleges egyenest húzunk az adott ponton keresztül, és máris megkaptuk a keresett egyenest.

Tehát a feladat elvégezhető az Eukleidészi síkban.
Most nézzük meg ugyanezt a koordinátageometriában is!

Tehát először is kell egy pont, amin áthalad a keresett egyenes. Ez a pont általában a P0 (ejtsd: pé-null), melynek koordinátái az x0, y0, azaz legyen a fixpontunk jele: P0(x0; y0).

Ezután kell még egy vektor is.
Ha erről a vektorról tudjuk, hogy párhuzamos az egyenessel, akkor irányvektornak fogjuk hívni, ennek megfelelően a v(v1; v2) jelölést, valamint az irányvektoros képletet használjuk; abban az esetben, ha a vektor merőleges az egyenesre, akkor pedig az n(A; B) jelölést, valamint a normálvektoros képletet fogjuk használni.

Ezen ismereteink alkalmazásának bemutatására nézzünk egy-egy feladatot!

Egyenes egyenletének felírása a gyakorlatban

 

1. feladat:
Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely áthalad az A(-3; 4) ponton, továbbá párhuzamos az a(2; 5) vektorral!

Ebben a feladatban a fixpont (P0) – tehát az a pont, melyen az egyenes áthalad, – megegyezik az A ponttal, vagyis a P0 pont koordinátái: x0 = (-3); és y0 = 4 lesz.
Ahhoz, hogy fel tudjuk írni az egyenes egyenletét, még szükségünk van egy vektorra. A feladatban szereplő vektorról (a) tudjuk, hogy párhuzamos az egyenessel, ezért ez az egyenes irányvektora, ennek megfelelően a v vektor koordinátái: v1 = 2; v2 = 5 lesz.
Természetesen – mivel a feladatban irányvektor van megadva, – ezek után már nem is kérdés, hogy az irányvektoros képletbe fogunk helyettesíteni az alábbiak szerint:

v2∙x – v1∙y = v2∙x0 – v1∙y0
5∙x – 2∙y = 5∙(-3) – 2∙4
5∙x – 2∙y = (-15) – 8
5∙x – 2∙y = (-23)

Tehát a feladat megoldása, azaz a keresett egyenes egyenlete: 5∙x – 2∙y = (-23).

2. feladat:
Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely áthalad a B(7; -2) ponton, továbbá merőleges a b(4; -3) vektorra!

Ebben a feladatban a fixpont (P0) megegyezik a B ponttal, tehát a P0 pont koordinátái:
x0 = 7; és y0 = (-2) lesz.
Ahhoz, hogy fel tudjuk írni az egyenes egyenletét, még szükségünk van egy vektorra. A feladatban szereplő vektorról (b) tudjuk, hogy merőleges az egyenesre, ezért ez az egyenes normálvektora, ennek megfelelően az n vektor koordinátái: A = 4; B = (-3) lesz.
Természetesen – mivel a feladatban normálvektor szerepel, – ezek után itt sem kérdés, hogy a normálvektoros képletbe fogunk helyettesíteni az alábbiak szerint:

A∙x + B∙y = A∙x0 + B∙y0
4∙x + (-3)∙y = 4∙7 + (-3)∙(-2)
4∙x – 3∙y = 28 + 6
4∙x – 3∙y = 34

Tehát a feladat megoldása, azaz a keresett egyenes egyenlete: 4∙x – 3∙y = 34.

Két ponton áthaladó egyenes egyenlete

Ebben az esetben az alábbi képletbe kell behelyettesítenünk a megfelelő értékeket:

(x – x1)∙(y2 – y1) = (y – y1)∙(x2 – x1)

Ebben az esetben az egyenes a P1(x1; y1) és a P2(x2; y2) pontokon halad át.
(Az x, y pedig az egyenes egy-egy pontjának a koordinátája.)
 

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.