Koordinátageometria – vektor hossza; két pont távolsága

Hogyan tudjuk kiszámítani a derékszögű koordináta-rendszerben megadott vektor hosszát? Milyen korábbi ismereteinket tudjuk felhasználni? Milyen összefüggés van a vektor hosszának meghatározása, illetve két pont távolságának kiszámítása között?
A válaszokat megtalálja az alábbiakban…

Felhasznált ismeretek

A koordinátageometriában a vektor hosszának, illetve két pont távolságának meghatározásához a Pitagorasz-tételt fogjuk felhasználni. (Ennek alkalmazásáról bővebben A Pitagorasz-tétel alkalmazása című bejegyzésben olvashat.)

Ha van egy vektorunk a derékszögű koordináta-rendszerben, akkor az lehet vízszintes (párhuzamos az x tengellyel), függőleges (párhuzamos az y tengellyel), és lehet “ferde”, amikor egyik tengellyel sem párhuzamos.
Ennek megfelelően a vektor hosszának kiszámításához két 🙂 esetet fogunk megkülönböztetni:
A vektor
I.) párhuzamos az egyik tengellyel, illetve
II.) nem párhuzamos egyik tengellyel sem.

Az első esetben nem kell nagyon kétségbe esni, hiszen a vektor egyik koordinátája (illetve annak abszolútértéke) adja meg a vektor hosszát, ám a második esetben kicsit hosszabb út vezet a megoldáshoz.

Ehhez először a vektor kezdő- és végpontján keresztül (képzeletben vagy ténylegesen) húzzunk párhuzamos egyeneseket az x és az y tengelyekkel. Ekkor keletkezik (legalább) egy derékszögű háromszög, melynek átfogója az adott vektor, aminek a hosszára vagyunk kíváncsiak.
Ehhez kell majd a Pitagorasz-tételt felhasználni.

Nézzük tehát az egyes eseteket külön-külön.

I. Tengellyel párhuzamos vektor hossza

Ha a vektor párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor a vektor egyik koordinátája 0. Abban az esetben, ha az x tengellyel párhuzamos – azaz vízszintes – a vektor, akkor az y koordinátája 0, ha az y tengellyel párhuzamos – azaz függőleges –, akkor pedig az x koordinátája 0.
(A vektorok iránya nem befolyásolja a vektor hosszát!)

Ilyenkor a vektor hosszát a nem nulla koordinátájának abszolútértéke mutatja. Ugyanis a távolság – definíció szerint – csak nem negatív érték lehet. (Az abszolútérték jelentéséről, használatáról A számok abszolútértéke, ellentettje című bejegyzésben olvashat.)
Pl.:

 

a(5;0): x tengellyel párhuzamos vektor, melynek a hossza |5|=5 egység.
b(0;–3): y tengellyel párhuzamos vektor, melynek a hossza |–3|=3 egység.

Megjegyzés:
A fenti vektorok nem feltétlen bázisvektorok, azaz a kezdőpontjuk nem biztos, hogy az origó.

II. A tengelyekkel nem párhuzamos vektor hossza

Ebben az esetben – ahogy az már fent szerepelt – a vektor kezdő és végpontját keresztül húzzunk a tengelyekkel párhuzamos egyeneseket, melynek eredményeként kaptunk (legalább) egy derékszögű háromszöget, melynek az átfogója az adott vektor.
(Segítségünkre lehet, ha visszaemlékszünk az előző bejegyzésre, ahol a vektor koordinátájának az értelmezéséről volt szó: Koordinátageometria – vektor értelmezése.)

Az előbb kapott vonalak közül rajzoljuk át a számunkra megfelelő derékszögű háromszöget, majd alkalmazzuk rá a Pitagorasz-tételt.

Mekkorák a háromszög befogói?
A vízszintes éppen akkora, mint a vektor első (x) koordinátájának az abszolútértéke, a függőleges pedig megegyezik a vektor második (y) koordinátájának az abszolútértékével.
Ha a v(vx; vy)-ra felírjuk a Pitagorasz-tételt, akkor azt kapjuk, hogy:

|v|² = |vx|² + |vy|²

(|v| jelentése: a v vektor hossza.)

Ezután már csak négyzetgyököt kell vonnunk a kapott összegből, s megkapjuk a vektor hosszát.
Pl.: (a c vektor az előző ábrán látható)

c(6; –4)
|c|² = |6|² + |–4|² = 36 + 16 = 52
|c| = √52 ≈ 7,21 egység

 

Két pont távolsága

Ezt a feladatot visszavezethetjük a vektor hosszának a kiszámítására, hiszen a vektornál is van két pont, mégpedig a vektor kezdőpontja és végpontja, melyek távolsága megegyezik a vektor hosszával.

Állapítsuk meg az A(–2; 5) és a B(8; -3) pontok távolságát!
Ehhez ábrázoljuk a pontokat derékszögű koordináta-rendszerben:

A vektor hosszánál látott módon rajzoljuk meg a derékszögű háromszöget, melynek befogói párhuzamosak a tengelyekkel, majd állapítsuk meg ezek hosszát.
A rajzról könnyedén leolvasható, hogy az x tengellyel párhuzamos befogó hossza 12 egység, az y tengellyel párhuzamos befogó hossza pedig 8 egység.

Ám nem minden esetben tudjuk ábrázolni ilyen pontosan a feladatban szereplő pontokat, s nem is hagyatkozhatunk teljes mértékben a “tapasztalásra”, ezért az egyes befogók hosszának megállapításához az alábbi algebrai módszerhez folyamodunk:
Az x tengellyel párhuzamos befogó hosszának megállapításához vegyük a pontok x koordinátáinak a különbségének az abszolútértékét, azaz:

x-tengellyel_párhuzamos_befogó = |8 – (-2)| = |10| = 10 egység.

Ezt az eljárást alkalmazzuk az y tengellyel párhuzamos befogó kiszámítására is:

y-tengellyel_párhuzamos_befogó = |(-3) – 5| = |–8| = 8 egység.

A kapott eredményt felhasználhatjuk a Pitagorasz-tételben, amiből viszont megkapjuk a derékszögű háromszög átfogójának a hosszát, vagyis a két pont távolságát.

|AB|² = 10² + 8² = 100 + 64 = 164
|AB| = √164 ≈ 12,81 egység

Ha általános képletre lenne szükségünk, akkor az alábbi, (a négyjegyű függvénytáblázatban is megtalálható) képletet javaslom használni, melyben:
P1(x1; y1): az egyik pont és koordinátái;
P2(x2; y2): a másik pont és koordinátái;
d: a két pont távolsága.

d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
d = √[ (x2 – x1)² + (y2 – y1)² ]

Észrevehető, hogy itt is a Pitagorasz-tételt alkalmazzuk, továbbá nincs benne abszolútérték. Ennek hiánya nem okoz problémát, hiszen láthatjuk, hogy az egyes különbségeket négyzetre emeljük, aminek eredményeként mindenképpen “nem negatív” értéket fogunk kapni. Ezt alátámasztja az (-a)² = a² összefüggés is.

Helyettesítsük be a fenti adatokat, s láthatjuk, hogy ugyanarra az eredményre jutunk:
d² = [8 – (-2)]² + [(-3) – 5]² = (10)² + (-8)² = 100 + 64 = 164
d = √164 ≈ 12,81 egység

 

Címke , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.