Koordinátageometria – vektor értelmezése

Milyen tulajdonságai vannak a vektornak? Mikor egyenlő két vektor? Mit értsünk a vektor koordinátája alatt? Mik azok az egységvektorok? Milyen kapcsolat van a vektor koordinátája és az egységvektorok között?
Ezekre a kérdésekre talál választ az alábbiakban.

A vektor

Aki az Eukleidészi geometriában megismerkedett a vektorokkal, Ő bizonyára tudja, hogy a vektort – más szavakkal, röviden  megfogalmazva – irányított szakasznak hívjuk. Ebből a két szóból azonban azt is tudjuk, hogy a vektornak mi az a két nagyon fontos tulajdonsága, melyeket a koordinátageometriában is használunk:
– van nagysága (hossza);
– van iránya.
Szükségünk lesz a alábbiakban arra is, hogy mikor tekintünk egyenlőnek két vektort? Ehhez egyszerűen azt mondhatjuk, hogyha a tulajdonságaik megegyeznek.

Két vektor egyenlő, ha nagyságuk és irányuk megegyezik.

A koordinátageometriában a vektorok jelölése megegyezik az Eukleidészi geometriában használt jelöléssel, azaz a kezdő- és végpontokat összekötjük, (mint szakasz végpontjait,) majd a vektor kezdőpontját úgy jelöljük, mint a szakasz egyik végpontját, a vektor végpontjához pedig egy nyilat teszünk.

A vektor megadása koordinátával

Ahhoz, hogy a vektorok koordinátájának a jelentésével megbarátkozzunk, nézzük meg, hogy mit értsünk az alatt, hogy az a [ejtsd: a vektor] koordinátája (+5; +8)?

Az előző bejegyzés segítségével már tudjuk ábrázolni a fenti koordinátájú pontot a derékszögű koordináta-rendszerben, de ez “csak” egy pont, nem pedig egy vektor.

A megoldás az, hogy ezt a pontot tekintjük a vektor végpontjának, amihez a kezdőpont a koordináta-rendszer középpontja, azaz az origó lesz. Így máris kaptunk egy vektort, melynek a kezdőpontja az origó, a végpontja pedig a fenti koordinátával megadott pont lesz, mégpedig ebben a sorrendben.

Az ilyen vektort (amelyek kezdőpontja az origó,) bázisvektornak nevezzük.

 

Vektor koordinátájának értelmezése

A vektorok kezdőpontja nem minden esetben az origó, sőt, a legtöbbször ettől eltér. Ilyenkor mit jelent az előző vektor a(+5; +8) koordinátája?

Ehhez a vektor koordinátájának egy gyakorlatias értelmezése szükséges:
A vektor koordinátája azt mutatja meg, hogy a vektor kezdőpontjából hogyan jutunk el a vektor végpontjába úgy, hogy közben csak a tengelyekkel párhuzamosan léphetünk.

(“Konyhanyelven” megfogalmazva azt mondanám, hogy a vektor koordinátája azt mutatja meg, hogy rácsvonalon haladva, hogyan tudunk eljutni a vektor kezdőpontjából annak végpontjába.)

A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy az a kezdőpontjából – bárhol is legyen az a koordináta-rendszerben – (+5)-öt kell lépni az x tengellyel párhuzamosan (jobbra) és (+8)-at kell lépni az y tengellyel párhuzamosan (fel). Az így kapott pont lesz az a végpontja.

Mi(k) az egységvektor(ok)?

Mint a nevében is benne van, vektorról van szó, mégpedig olyanról, melynek a hossza éppen 1 egység. Ebből kettőt különböztetünk meg: i, j. [ejtsd: i vektor, j vektor]
Az első (i) az x tengellyel, a második pedig (j) az y tengellyel párhuzamos.
Ha ezen vektorok kezdőpontja az origó, akkor a végpontjuk
i esetén: (1; 0),
j esetén: (0; 1).

 

Kapcsolat a vektor koordinátája és az egységvektorok között

A fenti általános értelmezésben a tengelyekkel párhuzamos mozgás gyakorlatilag azt jelenti, hogy az egyes egységvektorokból mennyit kell egymás “mögé” helyezni ahhoz, hogy eljuthassunk a vektor végpontjához.

A fent említett a(+5; +8) esetén ez azt jelenti, hogy a vektor kezdőpontjához mérünk egymás után 5 db i-t, majd az utolsó vektor végéhez illesztünk – szintén egymás után – 8 db j-t. Az így kapott pont lesz az a végpontja. Ezek után már csak meg kell rajzolnunk magát az a-t.

Ennek segítségével egy vektor felírható a következő alakban is:
Általában:

v(x; y) = x∙i + y∙j

A fenti feladatban:

a(+5; +8) = (+5)∙i + (+8)∙j

 

Címke , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.