Koordinátageometria – bevezetés

Ebben a bejegyzésben a következő kérdésekre kaphat választ:
Hova helyezzük a matematikában a koordinátageometriát? Mitől lesz “jó” egy koordináta-rendszer? (Gyakorlati javaslattal!) Mi a koordináta-rendszer teljes neve? Mit értsünk pont alatt? Hogyan tudjuk ezt megadni, jelölni? Hogyan tudjuk leolvasni egy pont koordinátáját?
A válaszokhoz tessék tovább olvasni!

A koordinátageometria helye a matematikában

A koordinátageometria elég nagy téma a matematikán belül, sok-sok buktatóval, persze csak azok számára, akik nem “értik” a koordinátageometriát, illetve nem tudják elképzelni a benne szereplő elemeket.
Hozzá kell tennem, hogy mindezek csak akkor valósulhatnak meg, ha valamelyest tisztában vagyunk a geometriai alapszerkesztésekkel, hiszen ami az Eukleidészi síkon működik, az működik a koordináta-rendszerben (koordinátasíkban) is.

Alapvetően azt mondhatnánk a koordinátageometriára, hogy két másik nagy témakör, a geometria és az algebra közös részét képezi, illetve eleme a közös részüknek.
Ez alatt mit is kell érteni?

Azt, hogy amit eddig eszközökkel szerkesztettünk az Eukleidészi síkban (pont, egyenes, szakaszfelező merőleges, kör, stb.), azokat most ráhelyezzük egy derékszögű koordináta-rendszerre és az egyes pontokra azok koordinátáival hivatkozunk.

Nézzük meg tehát először ezt a bizonyos koordináta-rendszert.

A “jó” koordináta-rendszer jellemzői

Először beszéljünk a koordináta-rendszer teljes nevéről, hiszen ez amolyan rövidített név, akárcsak egy becenév. Elárulom tehát a teljes nevét:

Descartes-féle ortonormált koordináta-rendszer, azaz
Descartes-féle derékszögű, azonos léptékű koordináta-rendszer.

Megjegyzés:
Az ortonormált az ortogonális, azaz derékszögű, valamint a normált, azaz azonos léptékű szavak egybeolvasztásával keletkezett. Ez utóbbit a magyar fordításban ritkán használjuk, sőt, általában csak a koordináta-rendszer elnevezést használjuk. Ha más típusú koordináta-rendszerre gondolunk, akkor azt a hallgatóságnak is a tudomására kell hozni, ez esetben pedig elmondjuk a tulajdonságait mind a tengelyek által bezárt szögre, mind pedig a tengelyek léptékeire vonatkozóan.

Az alábbi ábra mutat egy “jó” derékszögű koordináta-rendszert:

Figyeljük meg az alábbiakat a fenti koordináta-rendszeren:
1.) Két, egymásra merőleges egyenes – ezek a tengelyek;
2.) A tengelyek egy-egy végén nyilak jelzik, hogy merre növekszenek az értékek;
3.) A tengelyek elnevezései: x-tengely; y-tengely;
4.) Mindkét tengelyen legalább 2 db beosztás, melyből az egyik a nulla (itt: Origó).

A fenti ábrán is jól látható, hogy a síkot 4 síknegyedre osztottuk a koordinátatengelyek segítségével, melyekre sokszor szükséges hivatkoznunk. Ilyenkor egyszerűen római számokat használunk, s így kapjuk az I. síknegyed, II. síknegyed, III. síknegyed, illetve a IV. síknegyed kifejezéseket.

Már csak azt kell tudnunk, hogy melyik síknegyedhez melyik elnevezés tartozik.
Ezt mutatja az alábbi táblázat:

II. síknegyed |
|
I. síknegyed

+
III. síknegyed |
|
IV. síknegyed

 

Gyakorlati javaslat a “jó” és egyben “használható” koordináta-rendszer elkészítésére

A gyakorlatban, feladatok megoldásához általában nincs szükség túl nagy derékszögű koordináta-rendszerre, ezért az elkészítéséhez az alábbi 3 lépést szoktam kérni a tanulóktól:

1.) Tengelyek egyenesei:
1.1.) A négyzetrácsos füzet közepére (bal és jobb oldali margók között középen) vonalzó mellet húzzon egy 11 cm hosszú (0 cm-től 11 cm-ig), függőleges szakaszt a rácsvonalon, majd felülről a 6 cm-hez tegyen egy apró jelet.
1.2.) Az előbbi jelhez illessze a vonalzóját az 5 cm-nél, majd húzzon vízszintesen egy 11 cm hosszú szakaszt (0 cm-től 11 cm-ig).

2.) Tengelyek jelölései:
2.1.) A függőleges tengely tetején, illetve a vízszintes tengely jobb oldalán helyezzünk el egy-egy nyilat, jelezve, hogy arra növekszenek a tengelyek értékei.
2.2.) Az előbbi nyilak mellé írjuk oda a tengelyek neveit: a vízszintes tengely alá az X, a függőleges tengely bal oldalára az Y betűt.

3.) Léptékek jelölése:
Mindkét tengelyen elég lenne csak az 1-et bejelölni (1 kisnégyzetre mindkét tengelyen a nullától a nyilak irányába, azaz az x tengelyen a nullától jobbra, az y tengelyen a nullától felfelé), ám a használat szempontjából ez nem a legjobb választás.
3.1.) Ez helyett minden tengelyen csak a (+5)-öt és a (–5)-öt jelöljük. Ilyenkor, ha egy pont koordinátáját kell megkeresni, akkor azt tudjuk ezekhez, illetve a nullához viszonyítani, így a legtöbb esetben jelentősen lerövidítve a pontok megkeresésére szánt időt.

(A fenti részletes lépések lehet, hogy némelyek arcára mosolyt csalnak, de mivel nem láthatom, így azonnal nem is korrigálhatom az Ön által készítendő művet, ha az esetlegesen nem felelne meg a “jó” koordináta-rendszer követelményeinek.)

Most, hogy már gyorsan tudunk Descartes-féle derékszögű, azonos léptékű koordináta-rendszert 🙂 készíteni, megnézhetjük, hogy hogyan tudunk egy-egy pontot megadni.

Pont megadása a koordináta-rendszerben

A sík pontjaira úgy tudunk hivatkozni, mint az aknakereső játékban egy-egy mezőre, vagy mint a sakktábla egy-egy mezőjére. Azzal az eltéréssel, hogy míg az említett játékokban az egyes koordináták “sávokat”, addig a koordinátageometriában csak egy-egy rácsvonalat jelentenek, továbbá itt mindkét koordináta szám, azaz nem tartalmaz betűt.

Nézzünk egy konkrét példát és annak a magyarázatát!

1. feladat:
Ábrázolja a koordináta-rendszerben az A(+3; +7) koordinátájú pontot!

Mit is látunk?
Úgy kezdődik, hogy “A”. Ez lesz a pont “neve”, jele.
Ezt követi gömbölyű zárójelben, egymástól pontosvesszővel elválasztva két szám. Az első az x koordináta, ami azt mutatja, hogy az ‘A’ pont az y tengelytől hány egységre van, azaz, mennyit kell lépnünk az x tengelyen az origótól indulva. (Ezek a pontok az y tengellyel párhuzamos egyenesen helyezkednek el, ami az x tengelyt – ebben az esetben – (+3)-nál fog metszeni.) A második szám az y koordináta, ami pedig azt mutatja meg, hogy az ‘A’ pont milyen messze van az x tengelytől, azaz mennyit kell lépnünk az y tengelyen az origótól indulva. (Ezek a pontok az x tengellyel párhuzamos egyenesen helyezkednek el, ami az y tengelyt – ebben az esetben – (+7)-nél fog metszeni.)
Nincs más feladatunk, mint a kapott egyenesek metszéspontját megkeresni, hiszen ott lesz az ‘A’ pont.

Az alábbi ábra mutatja az ‘A’ pont helyét a derékszögű koordináta-rendszerben:

Most fordítsuk meg a folyamatot!
Jelöljünk ki egy rácspontot a derékszögű koordináta-rendszerben és állapítsuk meg annak a koordinátáit!

2. feladat:
Olvassa le az alábbi ábráról a B pont koordinátáját!

 

Az első jelzőszám, azaz az x koordináta leolvasásához a ‘B’ pontból állítsunk merőlegest az x tengelyre, majd olvassuk le a metszéspontjuknál található értéket az x tengelyről (ezt a műveletet hívják “merőleges vetítésnek”, azaz merőlegesen vetítsük a ‘B’ pontot az x tengelyre). A kapott érték lesz a ‘B’ pont x koordinátája, ebben az esetben a (–4).

A második jelzőszám, vagyis az y koordináta leolvasásához a ‘B’ pontból – az előzőekhez hasonlóan – állítsunk merőlegest, de most az y tengelyre, majd olvassuk le az y tengelyről a metszéspont koordinátáit (a “merőleges vetítés” jelentése ebben az esetben a következő: merőlegesen vetítsük a ‘B’ pontot az y tengelyre). Így megkaptuk a ‘B’ pont y koordinátáját is, ami jelen esetben a (+3).

Az alábbi ábra mutatja a fenti merőleges vetítéseket:

A végeredmény tehát:

A B pont koordinátája: B(–4; +3)

 

Címke , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.