A Pascal-háromszög és az (a+b)ⁿ kapcsolata

Rögtön egy megjegyzéssel kezdeném, miszerint a Pascal-háromszög elnevezés azt engedi feltételezni, hogy Blaise Pascal fedezte fel és rendezte a bejegyzésben található számokat, pedig a keleti kultúrában már sokkal korábban is ismerték és használták ezeket az összefüggéseket.

Mi is az a Pascal-háromszög?
Hogyan kapcsolódik egy összeg hatványához, nevezetesen az (a+b)ⁿ-hez?
A mai bejegyzésben ez is kiderül.

Mi a Pascal-háromszög?

Röviden: Számok, háromszög alakban elhelyezve.

Mivel ez elég tág értelmezés, egy kicsit pontosítsuk:
Képzeljünk el egy egyenlő szárú háromszöget, melynek a száraira sorban egyeseket írunk, majd a fennmaradó területre az átlósan fölöttük álló két szám összegét írjuk.
Ezzel a módszerrel fentről lefelé haladva gyakorlatilag a végtelenségig folytatható eljárással állíthatjuk elő a Pascal-háromszög egyes elemeit.

Az alábbi ábra a Pascal-háromszög indítását mutatja:

 

A Pascal-háromszög tetszőleges elemének kiszámítása

Ennek kiszámításához az alábbi összefüggést tudjuk felhasználni:

 

A fenti képletben ‘n’ jelenti a Pascal-háromszögbeli sor számát (n є N | 0 ≤ n), a ‘k’ pedig azt mutatja, hogy az adott soron belül hányadik elem értékét keressük (k є N | 0 ≤ k ≤ n).

Megjegyzés:
n! (ejtsd: n faktoriális) jelenti a pozitív természetes számok szorzatát ‘n’-ig, továbbá 0! = 1.
Pl.: 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24;

Összefüggés a Pascal-háromszög és az összeg hatványa között

A Pascal-háromszög legfelső sora – melyben csak egy darab 1-es áll – a nulladik sor, az alatta levő – ebben már két darab 1-es szerepel – az első sor, s ezeket követik a második, harmadik, stb. sorok a megfelelő tartalommal:

0. sor: 1
1. sor: 1 — 1
2. sor: 1 — 2 —  1
3. sor: 1 — 3 —  3  —  1
4. sor: 1 — 4 —  6  —  4   — 1
5. sor: 1 — 5 — 10 — 10  — 5 — 1

stb.

A fenti számok pontosan megegyeznek a zárójelfelbontás után kapott, egymást követő tagok együtthatóival.

Ha az együtthatók megvannak, akkor még fontos tudnunk, hogy minden együtthatóhoz tartozik egy két tényezős szorzat is, melynek egyik tényezője ‘a’ hatványa, a másik pedig ‘b’ hatványa; úgy, hogy a két kitevő összege éppen ‘n’ kell, hogy legyen.

Ez a leírás lehet, hogy bonyolultnak hangzik, ám tegyünk egy próbát, mégpedig írjuk fel az (a+b)⁵ kifejezés egyes tényezőit (az együtthatók helyét egyelőre az aláhúzások jelzik, ezekre később visszatérünk):

(a+b)⁵ = __∙a⁵ + __∙a⁴∙b + __∙a³∙b² + __∙a²∙b³ + __∙a∙b⁴ + __∙b⁵

Vizsgáljuk meg tehát az egyes tagokat, illetve azokon belül is a két tényező kitevőit.
Az első esetben az ‘a’ kitevője 5, a ‘b’ kitevője 0 (ennek értéke 1, amit nem írunk le feleslegesen). Ezek összege 5+0 = 5, valóban megegyezik a feladatban szereplő (eredeti) hatványkitevővel. Hasonlóképpen gondolkodva igazolhatjuk az utolsó tag esetében is: a kitevők összege itt is éppen 5 (0+5).

A közöttük található tagok esetében az ‘a’ kitevője mindig egyel csökken az előtte álló ‘a’ kitevőjéhez képest, míg a ‘b’ esetében 1-gyel nő. Azaz, ha csak az ‘a’ kitevőjét vizsgáljuk, akkor észrevehetjük, hogy az egymást követő tagokban egyre csökken, mégpedig 5-től egészen nulláig; ezzel ellentétben a ‘b’ kitevője egyre növekszik nullától 5-ig, továbbá az egy tagon belüli kitevők összege mindenütt éppen 5.

Így talán már jól követhető, hogy miképpen követik egymást az egyes tagok, illetve, hogy azokban melyik betű, melyik kitevőn kell, hogy szerepeljen.

Már csak az együtthatók hiányoznak.
Pótoljuk azokat!

Ehhez keressük meg a megfelelő sort, majd az aláhúzásokra írjuk rá az adott sorban található számokat egymás után, ugyanabban a sorrendben.
Ekkor ezt kapjuk:

(a+b)⁵ = 1∙a⁵ + 5∙a⁴∙b + 10∙a³∙b² + 10∙a²∙b³ + 5∙a∙b⁴ + 1∙b⁵

Végül hagyjuk el az 1-es szorzótényezőket az első és az utolsó tagból is, s megkapjuk az általában használt alakot:

(a+b)⁵ = a⁵ + 5∙a⁴∙b + 10∙a³∙b² + 10∙a²∙b³ + 5∙a∙b⁴ + b⁵

Fontos megjegyezés:
A Pascal-háromszög megfelelő sorában található számok csak akkor írhatók ugyanabban a sorrendben, mint ahogy azok az adott sorban szerepelnek, ha a hozzájuk kapcsolódó szorzat tényezőiben is tartjuk a fent vázolt sorrendet. Ellenkező esetben nem feltétlen fogunk jó eredményhez jutni. Természetesen előfordulhat, de nem biztos.
 

Címke , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.