Fejszámolás – 1

Szeretné elkápráztatni, meglepni barátait, szüleit esetleg tanárát? – Matematika tudásáról?

Hogyan számoljon könnyedén – FEJBEN?

Avagy hogyan lehet papír-ceruza, számológép nélkül gyorsan négyzetre emelni az 5-re végződő számokat? Ugyanezt a módszert hol tudjuk még használni? Mi rejlik ennek a titoknak a hátterében?
Olvassa tovább, s megtudja…

Az 5-re végződő számok négyzetre emelése fejben

Nézzünk először egy feladatot, majd utána pedig a magyarázatot:

35² = ? (1225)

Mi a számolás menete?
1. Válasszuk le az egyesek helyiértékén álló 5-ös számjegyet a hatványalapról.
2. A megmaradt számot (3) szorozzuk meg a nála eggyel nagyobb számmal (3+1 = 4).
3. Az előbb kapott szorzat (12) után írjuk oda az 5² értékét, vagyis a 25-öt.
4. Az eredmény tehát: 35² ==> ‘3 ∙ 4 = 12‘; ‘5 ∙ 5 = 25‘ ==> 1225.

Ugye, hogy milyen egyszerű?

Ezt a módszert könnyedén tudjuk alkalmazni 15-95-ig, ám ez működik ennél nagyobb számokkal is, csak ott már nehezebb kiszámítani a 2. lépést (a fenti lépések közül).
Pl.:

125² = ? (15625)

Itt a fenti módszer alapján:
125² ==> ’12 ∙ 13 = 156‘; ‘5 ∙ 5 = 25‘ ==> 15625

Megjegyzés:
Ha tudjuk a számok négyzetét, akkor az nagyban megkönnyíti a számolást. Ennek belátásához végezzünk egy kis átalakítást:

12 ∙ 13 = 12 ∙ (12 + 1) = 12 ∙ 12 + 12 ∙ 1 = 144 + 12 = 156

Ennél a feladatnál célszerű tudnunk, hogy a 12² = 144.

Hol tudjuk használni még a fenti összefüggést?

Az előbb ismertetett módszer nemcsak az 5-re végződő számok négyzetre emelésénél használható. Ugyanezzel a technikával tudunk kiszámítani egyes szorzatokat, aminek mindössze következménye a fenti alkalmazási lehetőség.

Tehát akkor mely szorzatoknál használhatjuk?
Olyan esetekben, amikor a kéttényezős szorzatban az egyes tényezők utolsó számjegyeinek az összege 10, a többi számjegy pedig pontosan megegyezik.

Pl.:

23 ∙ 27 = ? (621)

Hajtsuk végre a fenti lépéseket, természetesen egy nagyon kicsit (tényleg) módosítva rajtuk:
1. Válasszuk le az egyesek helyiértékén álló számjegyeket mindkét tényezőről.
2. A megmaradt számot (2) szorozzuk meg a nála eggyel nagyobb számmal (2+1 = 3).
3. Az előbb kapott szorzat (6) után írjuk oda a leválasztott számok szorzatát (3 ∙ 7), a 21-et.
4. Az eredmény tehát: 23 ∙ 27 ==> ‘2 ∙ 3 = 6‘; ‘3 ∙ 7 = 21‘ ==> 621.

Látható, hogy valóban ennek a módszernek a speciális esete az első alkalommal bemutatott eljárás, hiszen az utolsó számjegyek összege valóban 10, a többi számjegy pontosan megegyezik, az egyes lépések pedig ennek megfelelően ugyanúgy végrehajthatók.

A trükk leleplezése – avagy az eljárás bizonyítása

 

Elég megnéznünk az általános esetet, hiszen, ha az működik, akkor természetesen a speciális eset is ennek alapján működni fog.
Tehát a feladat: Szorozzunk össze két olyan számot, melyek csak az egyesek helyiértéken álló számjegyeikben térhetnek el egymástól, továbbá ezeknek a számjegyeknek az összege 10 kell, hogy legyen.
Ennek alapján a szorzatot az alábbiak alapján írhatjuk fel:

(10a + x) ∙ (10a + y), továbbá tudjuk, hogy
x + y = 10

Hajtsuk végre a szorzást a zárójelek felbontásával, majd végezzük el a lehetséges átalakításokat az alábbiak szerint:

(10a + x) ∙ (10a + y) = 100 ∙ a² + 10 ∙ a ∙ y + 10 ∙ a ∙ x + x ∙ y =
= 100 ∙ a² + 10 ∙ a ∙ (x + y) + x ∙ y = 100 ∙ a² + 10 ∙ a ∙ (10) + x ∙ y =
= 100 ∙ a² + 100 ∙ a + x ∙ y = 100 ∙ (a² + a) + x ∙ y = 100 ∙ a ∙ (a + 1) + x ∙ y

A kapott eredményből mit is tudunk kiolvasni? Hogyan tudjuk ezt értelmezni?

1.) a ∙ (a + 1) jelentése:
Az utolsó számjegyek elhagyásával kapott számot meg kell szoroznunk a nála eggyel nagyobb számmal.

2.) 100 ∙ a ∙ (a + 1) jelentése:
Az előbb kapott szorzatot meg kell szoroznunk 100-zal. Ez technikailag azt jelenti, hogy a szorzat minden egyes számjegye 2 helyiértékkel mozdul a nagyobb helyiérték felé, így a tízes és az egyes helyiértékre nullák kerülnek.

3.) … + x ∙ y jelentése:
Szorozzuk össze az utolsó helyiértéken álló számokat, majd a kapott eredményt adjuk hozzá az előbb kapott számhoz. Gyakorlatilag ez azt jelenti, hogy az 1.) lépésben kapott szám mögé írjuk oda az utolsó helyiértéken álló számok szorzatát.

VIGYÁZAT!
Ha a számjegyek szorzata egy jegyű, akkor is két helyiértékkel kell számolnunk.
Ez csak abban az esetben fordulhat elő, ha az utolsó számjegyek az 1 és a 9. Ekkor a szorzatuk 9, viszont a szám végére a “09”-et kell írnunk.
Erre is nézzünk egy feladatot:

41 ∙ 49 = ? (2009)

1. Válasszuk le az egyesek helyiértékén álló számjegyeket mindkét tényezőről.
2. A megmaradt számot (4) szorozzuk meg a nála eggyel nagyobb számmal (4+1 = 5).
3. Az előbb kapott szorzat (20) után írjuk oda a leválasztott számok szorzatát (1 ∙ 9), a 9-et.
4. Az eredmény tehát: 41 ∙ 49 ==> ‘4 ∙ 5 = 20‘; ‘1 ∙ 9 = 9‘ ==> 2009.

Számológéppel ellenőrizhető… 😉

Jó gyakorlást és sok elismerést kívánok!
 

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.