Számlálós-nevezős törtek 4/a. – Szorzás, osztás egész számmal

Hogyan szorzunk és osztunk számlálós-nevezős törtet egész számmal? Milyen szabály alapján tudjuk elvégezni ezeket a műveleteket? Milyen lépések szükségesek a hibátlan feladatmegoldáshoz? Mi a különbség  a természetes számmal, illetve az egész számmal történő műveletvégzés között? Hogyan jelölhetjük a negatív törteket?
A válaszok megtalálhatók a bejegyzésben…

Tört szorzása egész számmal

Mint a természetes számok szorzásánál, itt is érvényes a szorzás műveletének a helyettesítése összeadással. Mit értek ez alatt? pl. 5 ∙ 3 = 5 + 5 + 5 =15
Ezt törteknél ugyanígy tudjuk használni. Ehhez nézzünk is mindjárt egy feladatot, hiszen azon keresztül talán egyszerűbb az elsajátítás.

Ha megvizsgáljuk a feladatot, valamint az utolsó részeredményt, akkor azt tapasztaljuk, hogy:

Ebből pedig gyorsan le is vonhatjuk a következtetést, miszerint:

…a számlálót megszorozzuk az egész számmal, (ez lesz az új számláló,) a nevezőt pedig változatlanul leírjuk.

Tört osztása egész számmal

Az osztás elvégzéséhez két esetet különböztetünk meg:
A.) A számláló osztható az egész számmal;
B.) A számláló nem osztható az egész számmal.

Kezdjük az az első esettel!

Tört osztása egész számmal,

 

– ha a számláló OSZTHATÓ az egész számmal

Nézzünk egy feladatot:

12/17 : 3 = ?

Ehhez a feladathoz miképpen is tudnánk történetet elképzelni?
Pl.: Van egy születésnapi torta, amit felosztunk 17 egyenlő részre. A tortából 12 szelet fogyott el, úgy, hogy csak hárman ettek belőle és mindenki ugyanannyi szeletet evett. A torta hányadrészét ették meg külön-külön?

Mivel mindenki ugyanannyi szeletet evett, ezért gyakorlatilag az elfogyasztott szeletek számát kell egyenlő részekre osztani, azaz a 12-t kell elosztani 3-mal, ami pedig 4. Ez azt jelenti, hogy mindenki 4-4 szeletet evett.
Ám a kérdés az volt, hogy ez hányad része az egész tortának?
Mivel egy szeletnek a “neve” 1/17 (azaz az 1 egésznek az 1/17 része), ezért a 4 szelet az a torta 4/17 részének felel meg.

Mi történt tehát az osztás során?

Ebből pedig az alábbi szabályt tudjuk kiolvasni:

…a számlálót osztjuk az egész számmal, (ez lesz az új számláló,) a nevezőt pedig változatlanul leírjuk.

Tört osztása egész számmal,

 

– ha a számláló NEM OSZTHATÓ az egész számmal

Mi történik akkor, ha a számlálót nem tudjuk osztani az egész számmal?
Emlékszik a múlt heti “matematikusra”? Gyakorlatilag most is ugyanúgy járunk el, azaz a feladat megoldását egy korábban már megoldott feladatra vezetjük vissza, mégpedig az előbb ismertetett esetre.

Nézzünk meg egy feladaton keresztül!

5/6 : 4 = ?

Mivel a számláló jelen esetben nem osztható az egész számmal, ezért bővítéssel érjük el azt. Mennyivel bővítsük a törtet? A végeredmény szempontjából a legegyszerűbb megoldás, hogy éppen az osztóval (az egész számmal) bővítjük a törtet.

A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy az osztandót 4-gyel kell bővíteni.
Mivel utána már tudjuk alkalmazni az előző szabályt, ezért a számlálót osztjuk az egész számmal, a nevező pedig változatlan marad:

Mint látható, az osztás során a számláló maradt változatlan, a nevezőt pedig szoroztuk az egész számmal. Ebből pedig az alábbi szabályt tudjuk felírni:

…a nevezőt szorozzuk az egész számmal, (ez lesz az új nevező,) a számlálót pedig változatlanul leírjuk.

Művelet elvégzése egész számmal?

A fenti példákban a szorzó, illetve az osztó mindannyiszor természetes szám volt. Természetesen aggodalomra semmi ok, hiszen az egész számok annyiban különböznek a természetes számoktól, hogy megjelennek a negatív értékek is. Ez azonban nem befolyásolja a műveletek elvégzésének a lépéseit. Pontosan ugyanúgy kell eljárni mindkét számhalmaz esetében.

Nézzünk egy olyan feladatot, ahol a szorzó negatív szám!

Látható, hogy ilyenkor – az előjeles számoknak megfelelően végrehajtva a szorzást, – a számláló negatív lesz.

A negatív törtek jelölése

Előfordulhat, hogy a feladatok megoldása szempontjából a negatív törtek különböző jelöléseit alkalmazzuk. Ehhez mindössze annyit kell tudnunk, hogyha a tört értéke negatív, akkor az ezt jelző (negatív) előjel három helyen is állhat:
– a tört előtt;
– a számláló előtt;
– a nevező előtt.
Csak arra kell figyelnünk, hogy ezek közül csak az egyik helyen szerepeljen a negatív előjel, a másik kettő pozitív legyen.

Megjegyzés:
A tört értéke természetesen akkor is negatív, ha mindhárom helyen szerepel a negatív előjel ( – ∙ – : –, azaz mínusz-szor mínusz-ban a mínusz), de olyan feladatra nem emlékszem, ahol éppen erre lett volna szükség.

Összefoglalás

A számlálós-nevezős törtek szorzása, illetve osztása egész számmal az alábbi szabályok segítségével (pontos végrehajtásával) könnyedén elvégezhetők.

Tört szorzása egész számmal: A számlálót megszorozzuk az egész számmal, (ez lesz az új számláló,) a nevezőt pedig változatlanul leírjuk.

Tört osztása egész számmal,
– ha a számláló osztható az egész számmal: a számlálót osztjuk az egész számmal, (ez lesz az új számláló,) a nevezőt változatlanul leírjuk.
– ha a számláló nem osztható az egész számmal: a nevezőt szorozzuk az egész számmal, (ez lesz az új nevező,), a számlálót pedig változatlanul leírjuk.

 

Címke , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.