A gömb – felszíne és térfogata

Mit értünk gömb alatt? Milyen ábrát készítsünk, hogy számunkra a legtöbb információt hordozza? Hogyan tudjuk kiszámítani a felszínét és térfogatát? Milyen egyéb testek kapcsolódnak a gömbhöz? Mi azok felszíne, térfogata?

Mi a gömb?

Külön kell választanunk a gömbfelületet, a gömbtesttől, ezért ezeket külön fogjuk értelmezni:

Gömbfelület: Egy adott ponttól, adott (nem nulla) távolságra elhelyezkedő pontok halmaza a térben.
Gömbtest: Egy adott ponttól, adott (nem nulla) távolságnál nem nagyobb távolságra elhelyezkedő pontok halmaza a térben.

A két fogalom közti különbség az az, hogy az első csak azokat a pontokat jelenti, ami a gömb középpontjától pontosan adott távolságra vannak (gömbfelület), míg a második azokat a pontokat jelenti, melyek a gömb középpontjától az adott távolságra, vagy annál közelebb vannak (gömbtest).

Ez azt is jelenti, hogy amikor elképzeljük a feladatban olvasható testet, már tudnunk kell, hogy egy gumilabdára, illetve egy tömör (vas)golyóra kell gondolnunk.

Milyen, a gömböz szorosan kapcsolódó testeket ismerünk?

A körhöz hasonlóan a gömböt is speciális részekre bonthatjuk.
Mire gondolok? Az alábbi táblázat mutatja, hogy a kör egyes elnevezéseihez milyen gömbi megfelelőt tudunk társítani.

Elnevezés a KÖR-ben Elnevezés a GÖMB-ben
Körszelet Gömbszelet
gömbsüveg
Körcikk Gömbcikk
Körgyűrű Gömbréteg
gömböv

 

Hogyan keletkezhetnek a gömbnek a fenti részei?

A gömb egyes részei – általában – forgástestek, melyek úgy keletkeznek, hogy egy síkbeli alakzatot egy egyenes (forgástengely) mentén megforgatunk.
Már csak azt kell “megfejteni”, hogy melyik síkidomot, mely egyenes mentén kell megforgatni, hogy abból a megfelelő testet kapjuk. 🙂

Gömbszelet (gömbsüveg): A síkidom, melyet meg kell forgatnunk, egy körszeletet, majd ehhez a körszelethez tartozó húr felezőmerőlegesét tekintsük a forgatás tengelyének. Az így keletkezett forgástest a gömbszelet, más néven gömbsüveg, illetve – ha nem okoz félreértést, akkor – röviden süveg.

Gömbcikk: A forgatáshoz használt síkidom a körcikk, melyet a középponti szögének szögfelező egyenesén, mint forgástengelyen keresztül kell megforgatnunk. A kapott test lesz a gömbcikk.

Gömbréteg (gömböv): Ebben az esetben a síkidom úgy keletkezik, hogy berajzoljuk egy körnek két, egymással párhuzamos húrját, majd tekintjük a körnek, a húrok által közrezárt részét. A forgástengely pedig a húrok felezőmerőlegeseinek az egyenese lesz. Ha ezek ismeretében szintén elvégezzük a forgatást, akkor gömbréteget, vagy gömbövet, illetve – ha nem okoz félreértést, akkor – röviden övet kapunk.

GYAKORLAT:
Ahhoz, hogy ezeket a testeket könnyedén el tudjuk képzelni, célszerű a fenti keletkezési módokat a gyakorlatban is elkészíteni. Ehhez csak a technika és matematika órákon használt eszközöket kell felhasználni, természetesen körültekintően, a biztonsági előírásokat betartva, ügyelve a balesetek elkerülésére!
A végrehajtáshoz szükséges eszközök: rajzlap vagy kartonlap (legyen tartása), ceruza, vonalzó(k) (a párhuzamos elkészítéséhez lehet szükség két vonalzóra), körző, olló, hurkapálca, ragasztó.

1.) A rajzlapra vagy kartonlapra rajzoljunk meg egy körvonalat.
2.) Rajzoljuk meg a szükséges szakaszokat, melyek a megfelelő test látványához kellenek: húr, húrok, illetve sugarak.
3.) Szerkesszük meg a forgástengelyt: húr(ok) felezőmerőlegese, középponti szög szögfelező egyenese.
4.) Óvatosan vágjuk ki a megfelelő síkidomot! (VIGYÁZAT! BALESETVESZÉLY!)
5.) Ragasztóval kenjük be a kivágott síkidomnak azt a részét, melyen a forgástengely egyenesének részlete látható, majd erre nyomjuk rá a hurkapálcát, természetesen a ragasztó (forgástengely) irányának megfelelően!
6.) Várjunk addig, amíg a papír nem fordul el a hurkapálcán. (Ha szükséges, esetleg ragasztószalaggal [pl.: cellux] megerősíthetjük a rögzítést.
7.) Forgassuk meg két tenyerünk segítségével a hurkapálcát, s figyeljük meg, hogy a forgatás következtében milyen test keletkezik.

Nem kell megijedni, ha elsőre nem sikerül elkészíteni, majd a következő (vagy az az utáni) már biztosan jó lesz. Csak az a fontos, hogy készítsen egy “használható” eszközt, melynek segítségével megjelenítheti a valóságban, azaz a térben a kívánt testet.

Milyen a “jó” ábra?

A rajzokon nem szoktunk különbséget tenni a gömbfelület, illetve a gömbtest között. Gyakorlatilag minden esetben a gömbfelületet rajzoljuk le, majd a megfelelő helyekre berajzoljuk a megfelelő adatokat.
Az ábrákon használt jelölések:
O = a gömb középpontja (origó);
r = a gömb sugara (rádiusz);
m = magasság;
ρ; ρ(1); ρ(2) = megfelelő körlemezek sugarai (ejtsd: ).

Gömb:

Az alábbi ábrán fekete színnel jelölve láthatók az egyes testek, balról jobbra haladva:
Gömbszelet (gömbsüveg); Gömbcikk; Gömbréteg (gömböv).

 

A gömb felszíne, térfogata

Annak tárgyalása, hogy mit jelent a felszín illetve a térfogat, továbbá, hogy milyen mértékegységek kapcsolódnak a felszínhez illetve a térfogathoz, már korábban megtörtént (lásd: test felszíne; test térfogata); így – az eddigiekhez megszokott módon – erről most nem lesz szó.

A(gömb) = 4 ∙ r² ∙ π
V(gömb) = 4 ∙ r³ ∙ π / 3

Ahhoz, hogy ezek a képletek rögzüljenek, már csak gyakorlásra van szükség.

A gömbhöz kapcsolódó testek felszíne, térfogata

Az alábbi képletekben használt jelölések megegyeznek a fenti ábrákon használt megfelelő jelölésekkel.

Gömbszelet (gömbsüveg):

A = 2 ∙ r ∙ π ∙ m + π ∙ ρ²
V = (3 ∙ ρ² + m²) ∙ m ∙ π / 6

Gömbcikk:

A = 2 ∙ r ∙ π ∙ m + π ∙ ρ ∙ r
V = 2 ∙ r² ∙ m ∙ π / 3

Gömbréteg (gömböv):

A = 2 ∙ r ∙ π ∙ m + π ∙ ρ(1)² + π ∙ ρ(2)²
V = [m² + 3 ∙ ρ(1)² + 3 ∙ ρ(2)²] ∙ m ∙ π / 6

 

Címke , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.