A gúla és a kúp felszíne

A sorozatnak ezen bejegyzésében megnézzük, hogy miképpen lehet kiszámítani a gúla és a kúp felszínét, s a feladatok megoldásához milyen “használható” ábrát célszerű készíteni.

Mi a felszín? Mi a felszín mértékegysége?

Mivel az előző, A hasáb és a henger felszíne című bejegyzésben már szerepelt a felszín fogalmának, valamint a méréséhez használható mértékegységeknek a tárgyalása, ezért ezt itt külön nem teszem meg.

Helyette inkább térjünk is a lényegre!

A gúla felszíne

Határozzuk meg először is, hogy milyen sokszöglapok határolják a gúlát, hiszen a felszín kiszámításához ezeknek a lepoknak a területére lesz szükség!
A gúla áll
– 1 db alaplapból, és
– “n” db háromszögből, ahol “n” az alaplap oldalainak a számát jelenti.

Általában elmondhatjuk, hogy a gúla felszíne az alaplap és a palást területének az összege.

A = T(a) + T(p)

Ha a gúla ferde, akkor a palástot alkotó háromszögek területét egyenként ki kell számítani, majd összeadni.

Az egyenes gúla felszínének a meghatározásában tudjuk gyorsítani a folyamatot, mivel a palást háromszögei egybevágók, s egyenlő szárúak.
(Az alábbi ábrán látható a gúla, valamint a síkba kétféle módon is kiterített felülete.)

Ezért nem kell külön-külön kiszámítani minden egyes háromszögnek a területét, hanem csak egynek. Ha a kapott eredményt megszorozzuk a (megfelelő, egybevágó) háromszögek számával, akkor megkapjuk a palást területét.

T(p) = n ∙ T(Δ)
A = T(a) + n ∙ T(Δ)

A képletben szereplő területekről az alábbi bejegyzésekben olvashat részletesen:
síkidomok kerülete;
síkidomok területe;
szabályos sokszög kerülete, területe.

A kúp felszíne

Vizsgáljuk meg a kúp felületét! Észrevehetjük, hogy áll egy alaplapból, ami jelen esetben egy kör, valamint a palástból, tehát a felszínét kiszámíthatjuk a gúlánál felírt általános képlettel:

A = T(a) + T(p).

Az alábbi ábrán láthatjuk a kúpot, valamint a felületét kiterítve a síkba.

A palást kiterítve egy körcikket határoz meg.
Használjuk fel tehát a kör, valamint a körcikk területére vonatkozó ismereteinket!
A kör területe nem más, mint

T(a) = r² ∙ π.

A körcikk területének meghatározásához azt a szemléletet használhatjuk fel, hogy hasonlít egy (egyenlő szárú) háromszögre, melynek alapja a körcikk körívének a hossza, a magassága pedig megegyezik a körcikkhez tartozó kör sugarával, ami egyben a kúp alkotója.
Ha ez mellé még azt is tudjuk, hogy az előbbi körív hossza megegyezik az alaplap kerületével, majd ezek segítségével felírjuk a háromszögnél ismert “klasszikus” képletet (a∙ma/2), akkor az alábbi képlethez jutunk:

Jelölés:
i : ívhossz;
l : alkotó;
r : a kúp alaplapjának sugara.

i = 2 ∙ r ∙ π
T(p) = i ∙ l / 2
T(p) = r ∙ π ∙ l
A = r ² ∙ π + r ∙ π ∙ l
A = r ∙ π ∙ (r + l)

Összefoglalás

Mint látható, a gúla és a kúp felszínének a kiszámításához mindössze egy új képletet kell megjegyezni. Ennek a segítségével – meg persze a korábbi ismereteinket felhasználva – már egyáltalán nem okozhat problémát a megfelelő test felszínének a meghatározása.
Nézzük tehát a szükséges felszín képletet kiegészítve a palást területével!

Gúla:
A = T(a) + T(p)
T(p) = n ∙ T(Δ)

Kúp:
A = T(a) + T(p)
T(p) = i ∙ l / 2

Mindemellett nagyon fontosnak tartom megjegyezni, hogy a fenti (valamint a korábbi bejegyzésekben megismert) képletekkel mit sem érünk el, ha azokat nem gyakoroljuk be sok-sok feladaton keresztül.

Itt a “sok-sok” alatt feladattípusonként legalább 20-20 hibátlan feladatra gondolok.
Tényleg!

 

Címke , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.