A hasáb és a henger felszíne

Ebben a bejegyzésben a hasábok (és így természetesen a henger) felszínének a titkait fogjuk megfejteni. Milyen képletet, s miért éppen ezt kell (ajánlott!) ehhez megtanulni? Milyen összefüggéseket célszerű ismerni?

Mit értünk a test felszíne alatt?

Ahhoz, hogy ki tudjuk számítani egy test felszínét, tudnunk kell, hogy mit is jelent a felszín, azaz, hogy mit is kell kiszámítani.
Mivel a testeket két csoportra oszthatjuk, ezért a definíciót is két részre kell bontanunk, ugyanis vannak olyan testek, melyeket csak sokszögek határolnak (pl.: sokszög alapú hasáb) és vannak olyanok, melyeket nem csak sokszögek határolnak (pl.: henger).
Így a felszín definícióját ezek szerint kell értelmeznünk.

A felszín általános szabálya: Konvex test esetében az olyan poliédert, melyek csúcsai a testet határoló felületen vannak, beírt poliédernek nevezzük. Egy korlátos konvex test konvex beírt poliéderei felszínének a felső határát a konvex test felszínének nevezzük. Mondjuk azt is, hogy ez a testet határoló zárt, konvex felület felszíne.
Jele: A

Ez így elsőre nagyon bonyolultnak tűnhet, sőt mondhatnám, hogy sokkolja az Olvasót, tehát fogalmazzuk át úgy, hogy az számunkra érthetőbb legyen:

Egy konvext test felszíne megegyezik a test által tartalmazott, sokszöglapokkal határolt (konvex) testek felszínének a felső határával.

Azaz: abban az esetben, ha a testet csak sokszöglapok határolják, akkor a (konvex) test felszíne megegyezik a testet határoló lapok területeinek az összegével.

Ez mit is jelent? Azt, hogyha adott egy sokszöglapokkal határolt test, akkor ki kell számítani a testet határoló lapok területét, majd azokat összeadva megkapjuk a test felszínét.
Ugye, így már sokkal egyszerűbb a dolog?

Mi a helyzet akkor, hogyha nem csak sokszöglapok határolják a testet?
Ebben az esetben így módosíthatjuk a fenti szabályunkat:

Felszín: a testet határoló felületek területeinek az összege.
Jele: A

A gyakorlatban hogyan tudjuk alkalmazni a fenti szabályokat?
Elkészítjük a test hálóját, azaz “kiterítjük” a test lapjait a síkba, majd az így kapott síkidomnak kell meghatározzuk a területét.

A felszín mértékegységei

Mivel a határoló felületek területét kell kiszámítani, azok mértékegységei pedig a terület-mértékegységek, így, ha összeadjuk azokat, akkor ugyanúgy terület-mértékegységek maradnak, tehát a felszínnél használható mértékegységek a területnél általánosan használható mértékegységek lesznek.

A mértékegységekről, illetve azok megfelelő módon való átváltásáról az alábbi bejegyzésekben részletesen olvashat:
Mértékegységek, mértékegységek átváltása – alapok,
Mértékegységek átváltása a gyakorlatban.

A hasáb felszíne

Elevenítsük fel, hogy miből is áll egy hasáb:
– 2 db alaplapból, és
– annyi oldallapból, amennyi oldala van az alaplapnak.

Ezek alapján tehát a hasáb felszíne nem más, mint a két alaplap valamint a palást területének az összege.
Azaz:

A = 2 ∙ T(a) + T(p)

A fenti képletet abban az esetben javaslom használni, ha a feladatban ferde hasáb szerepel, ugyanis ilyenkor a palást területét – gyakorlatilag – a külön-külön kiszámított oldallapok területeinek az összegeként tudjuk meghatározni.

Ha a feladatban egyenes hasábról van szó (a legtöbb feladatban ilyennel találkozunk), akkor viszont a palást területét könnyedén ki tudjuk számítani, hiszen az oldallapok együtt – mint a fenti ábrán is látszik – egy téglalapot határoznak meg.

Vizsgáljuk meg ezt a téglalapot!

Tudjuk, hogy a téglalap területe T = a ∙ b, tehát a kiszámításához szükséges a két szomszédos oldalának a hossza. Az kristálytisztán látszik, hogy az egyik oldal az megegyezik a test magasságával, de nézzük meg, hogy mekkora a másik oldal.

Az alábbi ábrán az ugyanakkora szakaszokat ugyanolyan színek jelölik. Ebből láthatjuk, hogy a palást ezen oldala ugyanakkora, mint az alaplap kerülete. (Összehajtogatva a test hálóját, az azonos színnel jelölt oldalak ugyanoda kell, hogy essenek.)

Ezek alapján tehát:

T(p) = K(a) ∙ M,

amit visszahelyettesítve a korábbi felszín képletbe azt kapjuk, hogy az egyenes hasáb felszíne:

A = 2 ∙ T(a) + K(a) ∙ M

Mi a helyzet a henger esetében?

A henger felszíne

Az első dolog aminek eszünkbe kell jutnia az nem más, mint a henger teljes neve, azaz henger = kör alapú hasáb. Amennyiben ezt tudjuk, onnantól kezdve máris alkalmazhatjuk a hasáboknál felírt képletet.

Ezt is vizsgáljuk meg! Megállapíthatjuk, hogy a henger részei:
– 2 db alaplap, valamint
– a palást.

Ebből tehát következik, hogy a henger felszíne általában (azaz mindegy, hogy ferde vagy egyenes hengerről szól a feladat):

A = 2 ∙ T(a) + T(p)

Most tekintsük azt az esetet, amikor egyenes hengerről szól a feladat (ilyen henger látható a fenti ábrán is), és írjuk fel a palást területét más alakban!

Látható, hogy a palást kiterítve szintén egy téglalapot határoz meg, aminek az egyik oldala a test magassága, a másik pedig – mint azt a hasábnál is megfigyelhettük – nem más, mint az alaplap kerülete. Azaz:

T(p) = K(a) ∙ M

Ezt behelyettesítve az általános felszín képletbe azt kapjuk, hogy

A = 2 ∙ T(a) + K(a) ∙ M

Ennek a felismerése számomra azért nagyon fontos, mert így a henger felszínének kiszámításához nem kell külön képletet megtanulni, hanem egy korábbi (1 db) képlet segítségével ki tudjuk számítani ennek az értékét is. Ennek a felhasználásával viszont sokkal inkább az összefüggésekre, mint a memóriánkra hagyatkozva tudjuk meghatározni a henger felszínét.

Nézzük csak! Írjuk fel fenti képlet alapján az egyenes henger felszínképletét, felhasználva, hogy a henger alaplapja kör!

A = 2 ∙ T(a) + K(a) ∙ M

T(a) = T(kör) = r² ∙ π
K(a) = K(kör) = 2 ∙ r ∙ π

Ha a felszín képletben a T(a) és K(a) helyére beírjuk a kör területére és kerületére vonatkozó képletet, majd azt szorzattá alakítjuk, akkor már el is jutunk ahhoz a képlethez, amit kimondottan a henger felszínképleteként tanulhattunk, ismerhetünk:

A   =   2 ∙ r² ∙ π + 2 ∙ r ∙ π ∙ M   =   2 ∙ r ∙ π ∙ (r + M)

Összefoglalás

Amennyiben egy feladatban (ritkán, de előfordulhat, hogy) ferde hasábról, illetve ferde hengerről van szó, akkor azok felszínének a kiszámításához az alábbi képlet használható:

A = 2 ∙ T(a) + T(p)

Az egyenes hasáb és az egyenes henger felszínének kiszámításához pedig a következő képletet célszerű megjegyezni:

A = 2 ∙ T(a) + K(a) ∙ M

 

Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.