Hasáb, henger, gúla, kúp értelmezése, rajzolása

A sorozat további részeiben áttérhetünk a testekre. A mai alkalommal tekintsük át, hogy miképpen is keletkeznek azok a bizonyos testek, melyek oly sok problémát tudnak okozni!
Fontosnak tartom már így az elején azt is, hogy hogyan rajzoljuk le ezeket a testeket úgy, hogy számunkra a legtöbb információt hordozza. Hangsúlyozom, hogy számunkra, akik a matematika szemszögéből tekintünk egy-egy testre, s nem pedig a valódi látványt szeretnénk megörökíteni. Ez utóbbival találkozhatunk a rajz órákon, illetve a festményeken.

A hasáb és a henger származtatása

 

1.) Adott a síkban egy sokszög, valamint egy, (ugyanezt) a síkot döfő egyenes;
2.) A sokszög kerületének minden pontján keresztül húzzunk az adott egyenessel párhuzamos egyenest;
3.) A kapott (cső-)felületet metsszük el adott síkkal párhuzamos síkkal!
4.) Az így keletkezett zárt térrész a hasáb.

Látható, hogy elég rövid idő (néhány lépés) alatt el tudunk jutni a hasábig.

Értelmezzük a fentieket! Először egy képsorozattal, majd szöveges magyarázattal:

1.) lépés:
Képzeljünk el egy síkot: egy füzetlap, vagy az asztal lapja, valamint egy egyenest, mely ezt a síkot döfi, azaz az egyenesnek és a síknak egy közös pontja van. Ez lehet egy vonalzó, vagy méterrúd, amit ráállítunk a síkra, valahova, pl. a sokszögön kívül. (Egyelőre nem számít, hogy milyen szögben, nem feltétlen kell az egyenesnek merőlegesnek lennie az adott síkra, de lehet – erről majd még később lesz szó.)

2.) lépés:
Most az adott egyenessel párhuzamos egyeneseket kell húzni (akár további vonalzók/méterrudak segítségével) a sok kerületének minden pontján keresztül. Induljunk ki a sokszög egyik csúcsából, tehát ezen keresztül húzzuk az első párhuzamos egyenest, azaz állítsuk ide az előző egyenessel párhuzamos vonalzót/méterrudat. Majd haladjunk a sokszög oldalain tovább, azaz mozgassuk ezt a vonalzót a sokszög oldalainak pontjain keresztül a következő csúcs felé, majd onnan tovább egészen addig, amíg vissza nem érünk a kiindulási pontra. (Ezt megtehetjük többször is, hogy jobban el tudjuk képzelni, hogy egy összefüggő csőfelületet kapunk, melynek keresztmetszete “hasonlít” az adott sokszöghöz.)

Megjegyzés:
A későbbiek miatt számoljuk meg a keletkezett részeket! Az látható, hogy az eredeti sík alatt és fölött (egyik, illetve másik oldalán, ha a sík nem vízszintes) ugyanannyi rész keletkezett, mivel azokat a párhuzamos egyenesek határolják, melyek természetesen nem állnak meg, ha a síkot elérik, hanem folytatódnak a végtelenségig – mindkét irányban.
A felső részben keletkezett részek a csőfelületen belül, illetve kívül vannak, ami tehát 2 db, ugyanennyi található az alsó részben is, tehát összesen 4 db térrész keletkezett.

3. lépés:
Ezt a csőfelületet metsszük el az adott síkkal párhuzamos síkkal, azaz az eredeti füzetlappal vagy asztallappal párhuzamosan, még egy síkkal metsszük el az előbbi csőfelületet.

4. lépés:
A 2.) lépésben összeszámoltuk a térrészeket, melyek száma tovább szaporodik a 3.) lépésben létrehozott párhuzamos sík miatt. Tehát most két sík szerepel, melyek így a teret 3 részre osztják. Ezekre külön-külön az alul – középen – fölül kifejezésekkel hivatkozhatunk.
Számoljunk újra:
Alul nem változott a helyzet, mármint a térrészek száma, tehát van a csőfelületen belüli és kívüli rész, tehát 2 db. Ugyanilyen okból felül sem változott a részek száma, tehát ott is van 2 db. Középen (ugyanúgy, mint alul és fölül) szintén 2 térrész keletkezett: egy a csőfelületen belül, és agy azon kívül.
Tehát megállapíthatjuk, hogy az előző lépések során összesen 6 db térrész keletkezett.

Most meg kell vizsgálnunk, hogy ezek közül melyik a “véges”, azaz nincs neki olyan része, mely a végtelenségig folytatódik, más megfogalmazásban: minden oldalról le van zárva.
Az alsó részeket (2 db) vizsgálva látható, hogy azoknak a teteje az le van zárva (az adott síkkal), míg az alja végtelen. A felső részeket (2 db) ugyanígy megvizsgálva azt tapasztaljuk, hogy azoknak az alja van lezárva (a síkkal párhuzamos síkkal), ellenben a tetejük végtelen.
A középső 2 rész közül a csőfelületen kívüli az végtelen, ám ami a csőfelületen belül van, az már véges. Alulról az eredeti sík, felülről az eredeti síkkal párhuzamos sík, oldalról pedig a párhuzamos egyenesekkel készített csőfelület határolja.

Ez azt jelenti, hogy már meg is találtuk, hogy mi is a hasáb.

Ám hogyan lesz ebből henger? A válasz egyszerű: cseréljük ki a “sokszög” szót “körlemez”-re, s természetesen a “hasáb” szót “henger”-re, s máris eljuthatunk a henger származtatásának lépéseihez.

Elnevezések, jelölések

Alaplap: a síkban adott sokszög;
Palást: a hasábnak az a része, mely a párhuzamos egyenesek segítségével keletkezett, azaz a csőfelületnek az a része, mely a két sík között van;
Oldallap: a palást egy-egy négyszöglapja, mely a két alaplap megfelelő oldalait köti össze; (Ez általában téglalap, de lehet paralelogramma is, pl. ferde hasáb esetén. Az oldallapok együtt alkotják a test palástját.)
Testmagasság: a két alaplapnak a távolsága;
(M, értsd: “nagy m” – előfordul, hogy szükség van további magasságok jelölésére ugyanabban a feladatban, melyeket szintén m-mel [kis-m] jelölhetünk. Így sokkal szembetűnőbb [s a beszédben is jobban “hallható”], hogy mikor beszélünk testmagasságról, illetve síkidomban [általában háromszögben] jelölt magasságról.)
Vigyázat! A testmagasság tehát nem az adott egyenesnek a két sík közé eső részének a hossza, hanem annak az egyenesnek a két sík közé eső részének a hossza, mely egyben merőleges a síkokra!

T(a): az alaplap területe;
T(p): a palást területe;
K(a): az alaplap kerülete;

Természetesen a fenti jelölések érvényesek a hengerre is, ha a leírásban figyelembe vesszük, s betartjuk a fenti módosításokat.

A gúla és a kúp származtatása

 

1.) Adott a síkban egy sokszög, valamint (ugyanezen) a síkon kívül egy pont;
2.) Az adott pontból húzzunk félegyeneseket a sokszög kerületének minden pontján keresztül;
3.) Az így keletkezett zárt térrész a gúla.

Értelmezzük a fentieket! Először egy képsorozattal, majd szöveges magyarázattal:

1.) lépés:
A hasábnál már olvasottaknak megfelelően képzeljünk el egy síkot: egy füzetlap, vagy az asztal lapja, valamint egy pontot, mely nem ebben az adott síkban van, hanem azon kívül, az egyik félsíkban;
(Legyen az adott sík vízszintes, s az adott pont a felső félsíkban.);

2.) lépés:
Most az adott pontból félegyeneseket kell húzni a sok kerületének minden pontján keresztül. Induljunk ki a sokszög egyik csúcsából, tehát ezen keresztül húzzuk az első félegyenest, majd haladjunk a sokszög oldalainak pontjain keresztül a következő csúcs felé, s onnan tovább egészen addig, amíg vissza nem érünk a kiindulási pontra. (Ezt ismételhetjük többször is, hogy jobban el tudjuk képzelni a kapott összefüggő felületet, mely leginkább egy fejre állított tölcsérhez hasonlítható.)

3. lépés:
Számoljuk össze a keletkezett térrészeket! Az adott sík alatt van 2 db térrész, hiszen egy található a félegyenesek által meghatározott felületen belül, és egy azon kívül; továbbá ugyanez mondható el a sík fölötti részről is. Így tehát összesen 4 db térrész keletkezett, ám ezek közül csak 1 olyan van, mely véges.
Mégpedig az, amelyik az adott sík fölött és a (tölcsér-)felületen belül található, tehát ez az a térrész, amit gúla alatt értünk.

Ez azt jelenti, hogy már tudjuk, hogy mi is az a gúla.

Hogyan lesz ebből kúp? A válasz most sem nehezebb, mint az előbb volt: cseréljük ki a “sokszög” szót “körlemez”-re, s természetesen a “gúla” szót “kúp”-ra, s máris eljuthatunk a kúp származtatásának lépéseihez.

Elnevezések, jelölések

Alaplap: a síkban adott sokszög;
Palást: a gúlának az a része, mely a félegyenesek segítségével keletkezett, azaz a tölcsérfelületnek az a része, mely abban a félsíkban van, ami tartalmazza az adott pontot;
Oldallap: a palást egy-egy háromszöge; (Ez általában egyenlő szárú háromszög, de lehet általános háromszög is, pl. ferde gúla esetén. Az oldallapok együtt alkotják a test palástját.)
Testmagasság: az alaplapnak és a pontnak a távolsága; (Jelölés: M, értsd: “nagy m”.)
Vigyázat! A testmagasság tehát nem az adott félegyenesnek a pont és a sík közé eső részének a hossza, hanem az adott pontból a síkra állított merőleges szakasz hossza.

T(a): az alaplap területe;
T(p): a palást területe;
T(D): egy oldallap területe
K(a): az alaplap kerülete;

Természetesen a fenti jelölések (az oldallap, és az oldallap területének a kivételével) érvényesek a kúpra is, ha a leírásban itt is figyelembe vesszük, s betartjuk az ide vonatkozó, fenti módosításokat.

 

További érdekességek, észrevételek

Egyenes vagy ferde hasáb?
Ez attól függ, hogy a síkot döfő adott egyenes milyen szögben döfi a síkot. Ha ez az egyenes merőleges az adott síkra, akkor egyenes hasábról (s ennek alapján egyenes hengerről) beszélünk. Abban az esetben, ha ez az egyenes nem merőleges az adott síkra, akkor pedig ferde hasábnak (s így ferde hengernek) hívjuk a keletkezett testet.

A hasáb és gúla teljes neve
A hasáb/gúla kifejezés még nem határozza meg számunkra, hogy pontosan milyen testről is van szó, hiszen az a bizonyos adott sokszög, az elég sokféle lehet. Ezért, amikor valakinek a tudtára szeretnénk adni, hogy melyik sokszögre gondoltunk, akkor azt már a hasáb/gúla elnevezésébe is beletehetjük.
Hogyha az alaplap négyzet, akkor az elnevezések hasáb esetén: négyzet alapú hasáb, gúla esetében pedig négyzet alapú gúla.
Természetesen ennek alapján beszélhetünk háromszög alapú hasábról/gúláról, téglalap alapú hasábról/gúláról, szabályos hatszög alapú hasábról/gúláról, stb.

Ha arról is szeretnénk információt adni, hogy a síkot döfő adott egyenes az merőleges, vagy sem az adott síkra, azt is megtehetjük, mégpedig az “egyenes”, illetve “ferde” szavak közbeiktatásával: pl.:
négyzet alapú egyenes hasáb/gúla; téglalap alapú ferde hasáb/gúla, stb.

A henger és a kúp “teljes” neve
Ha már az előbb szó volt az egyes hasábok és gúlák teljes nevéről, fontosnak tartom ugyanígy a henger és kúp teljes nevének a felfedését is.
Miért? Azért, hogy ezen összefüggések ismeretében kevesebb képletet, “memoritert” kelljen fejben tartani.

Nézzük először a hengert!
A henger (kis eltéréssel, de) ugyanúgy keletkezik, mint a hasáb. Ez a bizonyos kis eltérés pedig nem más, mint az alaplapnak a neve. Az előbb azt láttuk, hogy a hasáb teljes neve nem más, mint:

<alaplap neve> alapú [“egyenes” / “ferde”] hasáb,

amiben az alaplap nevéhez “körlap”-ot (röviden “kör”-t) írhatunk, s máris eljutunk a henger teljes nevéhez, azaz:

kör alapú hasáb.

Ugyanezen módszer segítségével könnyen kitalálhatjuk, hogy mi is lesz a kúp teljes neve, ami nem más, mint:

kör alapú gúla.

Természetesen ezek az elnevezések mindössze azt a célt szolgálják, hogy könnyebben el tudjunk igazodni a testek világában, lássuk az összefüggéseket az egyes testek között, s nem utolsó sorban, hogy kevesebb képletet kelljen megtanulni.

Hogyan rajzoljunk hasábot, gúlát, hengert, kúpot?

Mint, ahogy azt a bevezetőben már említettem, az alábbi rajzok nem rajz szakos kollégák részére készültek, sem nem azért, hogy a rajz órákon tanultakat befolyásoljam. Csupán azt a célt szolgálják, hogy aki egy-egy matematika feladathoz szeretné elkészíteni az alcímben szereplő testek rajzait, Ő olyan rajzot tudjon készíteni, melyből – matematikai szemmel nézve – sok információt tud leolvasni a test tulajdonságait illetően.
Ugyanis ezeken a rajzokon a párhuzamos oldalak vagy lapok valóban párhuzamosnak látszanak (a keletkezett szögeket illetően ez nem minden esetben van így), míg a három dimenziós térben, a természetben előforduló ugyanilyen testek esetében amit a szemünkkel érzékelünk, azt át kell alakítanunk a megfelelő tulajdonságok észrevételéhez.
Ez az átalakítás nem mindenki számára egyszerű feladat, s a matematika feladatok megoldásához elsősorban nem a (rajz-)művészi képességekre van szükség, ám természetesen nem zárja ki a kettő egymást. 🙂

Ezek után térjünk is rá a testek elkészítésének egyes fázisaira!

Egyenes hasáb rajzolása
Első lépésben megrajzoljuk az alaplapot. Nem felülnézetből, hanem egy kicsit elölről és oldalról, mintha vízszintesen eldöntöttük volna az élére állított sokszöget.
Ahhoz, hogy teljesen érthető legyen, hogy mit értek ez alatt, vegyünk konkrét példát, azaz rajzoljunk egy négyzet alapú egyenes hasábot!
Az alaplap tehát négyzet, amit elfektetünk, majd egy kicsit elölről és oldalról tekintjük.

Ezután következik a test magasságának a megrajzolása. Válasszunk egy tetszőleges (nem túl kicsi, nem túl nagy) magasságot, s ezt függőlegesen rajzoljuk is rá a sokszög egyik csúcsából kiindulva, felfelé.
Pontosan ugyanekkora magasságot rajzoljunk meg (szintén függőlegesen) az alaplap többi csúcsából kiindulva, felfelé.

Végül rajzoljuk meg a felső alaplapot (fedőlap), ami megegyezik az alaplap képével.

Egyenes henger rajzolása
Mivel a henger egyben hasáb, ezért a megrajzolása részben megegyezik a hasábnál olvasottakkal. Itt is először az alaplappal kezdjük, aminek a számunkra megfelelő képe az ellipszis lesz.

Jöhet a magasság megválasztása, ám itt nincs sokszög, tehát nincs csúcs sem, ahonnan indíthatnánk. Helyette az ellipszis bal és jobb széléről indítjuk felfelé ezeket az egyforma szakaszokat – függőlegesen.

Végül megrajzoljuk a tetején is az alaplapot:

Egyenes gúla rajzolása
A gúla rajzolását szintén az alaplappal kezdjük, ugyanúgy, mint a hasáb esetében. Ezt sem felülnézetben, hanem egy kicsit elölről és oldalról rajzoljuk. Most is nézzünk egy konkrét testet, mégpedig a négyzet alapú gúlát.

Ha az alaplap már megvan, akkor jöhet a magasság berajzolása. Ahhoz, hogy ezt meg tudjuk tenni, halványan rajzoljuk be a sokszög középpontját meghatározó átlókat. Ezek metszéspontja lesz majd a magasság talppontja, azaz innen indul felfelé függőlegesen a magasság.

Ám itt – a “jó” rajz érdekében – nem mindegy, hogy milyen hosszú a magasság, azaz hol van az a bizonyos adott pont, amit majd össze kell kötni a sokszög többi csúcsával.
Úgy kell kiválasztani ezt a pontot a magasság félegyenesén, hogy az alaplap egyik élének az egyenesével sem essen egy vonalba. Ugyanis, ha ez így lenne, akkor nem láthatnánk minden oldalélét a gúlának. Ezért azt szoktam tenni, hogy megkeresem azt a pontot, ahol az oldalél egyenese metszi a magasságot, majd ettől 10-15 mm-rel felfelé jelölöm ki a gúla hiányzó csúcsát. Ez lesz az az adott pont, mely nincs az adott síkban.

Ha már megvan ez a pont, akkor kössük össze az alaplap csúcsaival.

Egyenes kúp rajzolása
Ebben az esetben a hengernél leírtak alapján, egy ellipszist rajzolunk, majd az ellipszis vízszintes tengelyének a felezőpontjából kiindulva, függőlegesen, felfelé megrajzoljuk a kúp magasságát.

Mivel itt nincs olyan “veszély”, mint a gúla esetében az alapélek egyeneseivel, ezért tetszőleges hosszúságot választhatunk.

Ha megvan a magasság másik végpontja, akkor azt összekötjük az ellipszis szélével, mind a bal, mind a jobb oldalon.

 

 

Címke , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.