Síkidomok területe

Ebben a részben a síkidomok területe kerül tárgyalásra.

Mi a terület?

 

Síkidom területe: Az egységnégyzettel való összehasonlítás, mely két részből áll: a mérőszámból és mértékegységből. Az utóbbi jelöli, hogy mekkora az egységnégyzet, a mérőszám pedig azt mutatja meg, hogy mennyi egységnégyzetre van szükség a síkidom teljes lefedéséhez.
Jele: T

Az eddigi definícióinktól ez egy kicsit eltér, de, ha többször elolvassuk a fenti szabályt, rájöhetünk, hogy a területmérésnél valóban egyfajta összehasonlításról van szó.

Mi az egységnégyzet?

Mint, ahogy fent olvasható, a mértékegység mutatja meg az egységnégyzet méretét. Ez mit jelent? Tekintsünk egy példát, miszerint egy síkidom területe 5 cm². Ebben az esetben a mértékegység a cm², ami természetesen az egységnégyzetre is utal. Ebben az esetben az egységnégyzet egy akkora négyzettel egyenlő, melynek minden oldala 1 cm. (Ugyanis ennek a négyzetnek a területe 1 cm².) Ha ezek után hozzávesszük a mérőszámot is, jelen esetben az 5-öt,  akkor tudhatjuk, hogy hány darab (5 db) egységnégyzettel tudjuk teljes egészében lefedni a síkidomot.

Ebből a gondolatmenetből is kitűnhet, hogy milyen mértékegységekre lesz szükség.

A terület mértékegységei

Mivel az egységnégyzetek számáról és méretéről van szó, ezért a területnél használatos mértékegységek megegyeznek a terület-mértékegységekkel.
Azt, hogy milyen mértékegységeket használunk a terület mérésére, egy korábbi bejegyzés (Mértékegységek, mértékegységek átváltása – alapok)  már tárgyalja, sőt szintén egy külön bejegyzést találhat arról, hogy miképpen tudunk átváltani az egyes mértékegységek között (Mértékegységek átváltása a gyakorlatban), ezért ezekről most itt külön nem lesz szó.

Annyit azonban érdemes figyelembe venni, hogy a feladatok megoldása előtt célszerű azonos (megfelelő) mértékegységekre átváltani a feladatban szereplő értékeket, azaz, ha hosszúságról vagy területről beszélünk, akkor minden mértékegység ugyanazzal a hosszúság- vagy terület-mértékegységgel legyen jelölve. Abban az esetben, ha meg van adva hosszúság és terület is, akkor azokat a megfelelő mértékegységre váltjuk,
pl.:  mm – mm², cm – cm², dm – dm², …
Így a végén nagyon sok bosszúságtól menekülünk meg, hiszen előfordulhat, hogy szinte elölről kell kezdenünk a feladat megoldását.

Mire valók a terület-képletek?

Az egyes feladatok megoldása folyamán ténylegesen nem készítjük el az egységnégyzetet, hogy aztán majd azzal megpróbáljuk pontosan lefedni a síkidomot, hanem a rendelkezésünkre álló (mások vagy magunk által bizonyított) terület-képleteket használjuk. Ennek eredményeként sokkal pontosabban tudjuk meghatározni egy-egy síkidom területét.

Ezek után térjünk rá az egyes síkidomok esetében használható terület-képletek felsorolására.

A háromszög területe

Általános jelölések a háromszögben::
‘a’, ‘b’, ‘c’: a háromszög oldalai;
‘ma’, ‘mb’, ‘mc’: a megfelelő oldalhoz tartozó magasságok;
‘r’: a háromszögbe írható kör sugara;
‘R’: a háromszög köré írható kör sugara;
‘s’: a háromszög kerületének a fele (K = 2 ∙ s)

A négyzet területe

A négyzet oldalai egyenlők, azt ‘a’ jelöli, tehát a területe:

A téglalap területe

A téglalapnak a szemben fekvő oldalai egyenlők, így az oldalakat ‘a’ és ‘b’ jelöli, a területe pedig:

A paralelogramma területe

A paralelogramma esetén használt általános jelölések:
‘a’, ‘b’: a paralelogramma oldalai;
‘ma’, ‘mb’: az ‘a’, illetve a ‘b’ oldalhoz tartozó magasságok

A rombusz területe

A rombusz esetében nem kell új képletet megjegyeznünk, mindössze azt használjuk fel, hogy a rombusz az egyben paralelogramma is, tehát használható rá a paralelogrammánál használt képlet:

A deltoid területe

A deltoid általános jelölései:
‘f’: szimmetriaátló;
‘e’ a szimmetriaátlóra merőleges átló.

A trapéz területe

A – legtágabb értelemben vett – trapéz esetében a terület meghatározásához mindössze az alapokra (‘a’, ‘c’), valamint azok távolságára (‘m’) lesz szükség, melyeknek a segítségével a terület:

A kör területe

A kör területének a meghatározásához is fel kell használnunk – a kerületnél már megismert állandót, – a pí-t (jele: π).
Mivel a π irracionális szám, ezért annak csak – két tizedesjegyre kerekített – közelítő értékével számolunk, ami π ≈ 3,14.
A sokszögeknél az oldalak, a magasságok, az átlók, míg a körnél a sugár (jele: r – rádiusz) lesz az, aminek a segítségével meg tudjuk határozni a területet:

Megjegyzés:
1.) Az egyes alakzatok területképletének a bizonyításához általában azt használjuk fel, hogy a síkidom területe megegyezik a síkidom feldarabolásával keletkezett síkidomok területeinek az összegével.

2.) További, a gyakorlatban sokszor alkalmazható lehetőségek a következő bejegyzésben olvashatók, melynek címe: …………………

Címke , , , , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.