Számok abszolútértéke, ellentettje

Elég sokszor okoz problémát a számok ellentettjének, illetve abszolútértékének a kiszámítása. Véleményem szerint ennek az oka nem más, mint a fogalmak ismeretének a hiánya.
Ebben a bejegyzésben megismerkedhetünk a fenti fogalmakkal, s láthatunk néhány feladatot azok gyakorlati jelentésére.

I. Számok ellentettje

 

Definíció: Egy szám ellentettje, a szám (–1)-szerese.

Látható, hogy nagyon egyszerű, rövid szabályról van szó, ám az alkalmazásával mégis problémák vannak.
Miből eredhetnek ezek? Egyrészt, hogy nem tudjuk pontosan, hogy mit is értünk egy szám ellentettjén. Ha mégis, akkor pedig előfordulhat, hogy nem tudjuk, hogy azt hogyan kell alkalmazni.

A gyakorlatban a következőképpen tudjuk felhasználni:

1. feladat: Határozza meg az alábbi számok ellentettjét!
a) 3;    b) 6;    c) (–2);    d) (–4);    e) 0

Mit is jelent a szám ellentettje? Annak (–1)-szeresét. Akkor tegyük mi is ezt!
a) 3∙(–1) = (–3), tehát a 3 ellentettje (–3).
b) 6∙(–1) = (–6), tehát a 6 ellentettje (–6).
c) (–2)∙(–1) = (+2), tehát a (–2) ellentettje (+2).    [(+2) = 2]
d) (–4)∙(–1) = (+4), tehát a (–4) ellentettje (+4).    [(+4) = 4]
e) 0∙(–1) = 0, tehát a 0 ellentettje 0.

Tehát mit is kell tennünk?
A számot meg kell szoroznunk (–1)-gyel, s máris megkaptuk az ellentettjét. Ehhez persze tudnunk kell, hogy miképpen szorzunk előjeles számokkal.

Vizuálisan, azaz a kiindulási szám és a végeredmény látványát tekintve mindössze annyi történik, hogy az előjel az ellenkezőjére változik. Azaz a pozitív számokból negatív, a negatívakból pozitív szám lesz, a nulla ellentettje pedig marad nulla.

(Természetesen nem csak az egész számoknak van ellentettje, hanem bármely valós számnak is, ám azok ellentettje az előbbiek alapján már könnyedén meghatározható.)

Ugye, hogy nem is olyan nehéz?

II. Számok abszolútértéke

Itt is kezdjük a fogalommal.

Definíció: Egy szám abszolútértéke, a nullától való távolsága a számegyenesen, egységben. Jele: | |

Matematikai jelekkel felírva:

Vizsgáljuk meg a két szabályunkat, külön-külön, természetesen feladatok segítségével!

2. feladat: Határozza meg az alábbi számok abszolútértékét!
a) 3;    b) 6;    c) (–2);    d) (–4);    e) 0

Az első esetben (a szöveges definíció alapján) a számegyenesen kell gondolkodnunk, tehát készítsük el a számegyenest, majd rajzoljuk be a feladatnak megfelelő értékeket!

Ezután vizsgáljuk meg, hogy az egyes számok milyen messze vannak a nullától!
Nagyon fontos, hogy nem a tényleges távolságra (cm-ben vagy mm-ben kifejezve :-)), hanem az egységben mért távolságra van szükség.

Ennek alapján a megoldások:
a) Mivel a 3 éppen 3 egységre van a nullától, ezért: |3| = 3.
b) Mivel a 6 éppen 6 egységre van a nullától, ezért: |6| = 3.
c) Mivel a (–2) éppen 2 egységre van a nullától, ezért: |–2| = 2.
d) Mivel a (–4) éppen 4 egységre van a nullától, ezért: |–4| = 4.
e) Mivel a 0 éppen 0 egységre van a nullától, ezért: |0| = 0.

Észrevehetjük, hogy a számok abszolútértékének a meghatározásában nem számít, hogy a számegyenesen melyik (pozitív vagy negatív) irányba haladunk, hanem csak azt kell figyelembe vennünk, hogy milyen “messze” van a nullától.

Ha csak a “látványra” figyelünk, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy egy szám abszolútértékét úgy kaphatjuk meg, hogy csupán letakarjuk annak az előjelét, illetve az előjelét minden esetben pozitívra változtatjuk.

Ha a második jelölés alapján határozzuk meg a számok abszolútértékét, akkor a megoldás az attól függ, hogy a szám nagyobb vagy egyenlő nullával illetve kisebb annál. Ha nagyobb vagy egyenlő nullánál, akkor marad változatlanul (önmaga), ha kisebb mint nulla, akkor a számnak kell venni a (–1)-szeresét, azaz az ellentettjét.
Alkalmazzuk is a fentieket az alábbi feladaton!

3. feladat: Határozza meg az alábbi számok abszolútértékét!
a) 5;    b) 12;    c) (–8);    d) (–13);    e) 0

A megoldások:
a) Mivel az 5 ≥ 0, ezért |5| = 5.
b) Mivel a 12 ≥ 0, ezért |12| = 12.
c) Mivel a (–8) < 0, ezért |–8| = (–1)∙(–8) = 8.
d) Mivel a (–13) < 0, ezért |–13| = (–1)∙(–13) = 13.
e) Mivel a 0 ≥ 0, ezért |0| = 0.

Természetesen a számok abszolútértékének a meghatározása sem korlátozódik csak az egész számokra, de mint azt a számok ellentettjénél is láttuk, itt is könnyedén meg tudjuk határozni bármely valós szám abszolútértékét a fenti példák segítségével.
 

Címke , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.