Számok normálalakja

A számok négyzetének, illetve négyzetgyökének a meghatározásához – feltéve, hogy azt táblázat segítségével tesszük – szinte elengedhetetlen, hogy ismerjük a számok normálalakját.
Ebben a bejegyzésben megnézzük ennek az elméleti hátterét, valamint láthatunk példákat arra, hogyan lehet felírni a számokat normálalakban, illetve a normálalakban felírt számokat hogyan tudjuk vissza alakítani.

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:

Számok normálalakja;
Műveletek normálalakban felírt számokkal

Mi az a normálalak?

 

Definíció szerint: Olyan két tényezős szorzat, melynek egyik tényezője (abszolútértéke) 1-gyel egyenlő vagy 1-nél nagyobb és 10-nél kisebb valós szám, a másik tényezője 10-nek egész kitevős hatványa.

Ugyanez matematikai jelekkel: a∙10^k; ahol: {a є R | 1<=|a|<10}, és k є Z.

Ha végigolvassuk a definíciót majd megnézzük ugyanazt jelekkel, akkor egy kicsit megijedhetnénk, hiszen olyan hosszú a definíció, olyan bonyolultnak tűnhet a jelölés, ám semmi ok az aggodalomra, hiszen ezt most végigvesszük pontról-pontra, ráadásul egy-egy feladaton keresztül.

1. feladat: Írjuk fel a 2500 normálalakját!
Megoldás: 2500 = 2,5∙10^3

Hogyan juthatunk el ehhez a megoldáshoz?

Nézzük először a második tényezőt! Mivel 10-hatványról van szó. ezért az lehet:
nem negatív kitevő esetén: 1; 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; …;
illetve negatív kitevő esetén: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; …;

Ha 10-zel, 100-zal, 1000-rel szorzunk/osztunk, akkor a tizedesvessző mozdul a megfelelő irányba, megfelelő számú helyiértékkel.
Mozdítsuk a tizedesvesszőt az eredeti (2500) számban. Azt tapasztaljuk, hogy több helyre is kerülhet, most nézzük meg ezeket külön-külön:

Mint látható, a fenti sort a végtelenségig folytathatnánk, a szorzatok minden esetben 2500-zal lennének egyenlők, ám ezek közül csak egyetlen felírásra igaz, hogy a 2500-nak a normálalakja.
Ennek a kiválasztásához tekintsük a definíciónkat, annak is kezdjük most (kivételesen) a második tényezőjével.
Írjuk fel mindannyit 10-nek egész kitevős hatványaként!

Észrevehetjük, hogy a második tényezőt minden esetben fel tudtuk írni 10-nek egész kitevős hatványaként, tehát ez alapján nem tudjuk eldönteni, hogy melyik szorzat lesz a normálalak.

Vizsgáljuk meg a szorzatok első tényezőit is!
Ahhoz, hogy a normálalak definíciójának megfeleljen, ahhoz 1-gyel egyenlőnek vagy 1-nél nagyobbnak és 10-nél kisebbnek kell lennie.
A fenti táblázatban keressük meg azt az első tényezőt, melyre ez a feltétel teljesül.
A jobb oldali oszlopban mindegyik 10-nél nagyobb, tehát a bal oldali oszlopban kell keresnünk a megoldást. Ez a 4a) jelű sorban található, hiszen fölötte 10-nél nagyobb, alatta pedig 1-nél kisebb értékeket találunk.
Erre tehát teljesül:
1) {2,5 є R | 1<=2,5<10};
2) 3 є Z.

Mivel ez volt az első feladatunk, így abból indultunk ki, hogy a 2500-at hogyan tudjuk felírni szorztaként úgy, hogy a normálalak definíciójából legalább az egyik feltételnek (a második tényező 10-nek egész kitevős hatványa) megfeleljen; s utána azok közül kiválasztottuk, hogy melyikre teljesül a másik feltétel is.

A valóságban éppen fordítva hajtjuk végre a felírást, mégpedig a következő gondolatsor alapján:
1) A 2500-ban mozdítsuk a tizedesvesszőt úgy, hogy 1 és 10 közötti értéket kapjunk (1-gyel lehet egyenlő, de 10-zel nem!); ⇒ 2,500
2) Az új tizedesvesszőnek melyik irányba és mennyit kell mozdulnia, hogy visszakerüljön az eredeti helyére? ⇒ “jobbra”, azaz a kisebb helyiérték felé 3-at.
3) Állapítsuk meg, hogy ez a mozgás milyen kitevővel érhető el, ha a hatványalap 10! ⇒ 3
4) Írjuk fel a végeredményt! ⇒ 2500 = 2,5∙10^3

2. feladat: Írjuk fel a 0,0845 normálalakját!
Megoldás: 8,45∙10^-2

A valóságban milyen lépéseket is kell végrehajtanunk?
1) A 0,0845-ben mozdítsuk a tizedesvesszőt úgy, hogy 1 és 10 közötti értéket kapjunk (1-gyel lehet egyenlő, de 10-zel nem!); ⇒ 008,45
2) Az új tizedesvesszőnek melyik irányba és mennyit kell mozdulnia, hogy visszakerüljön az eredeti helyére? ⇒ “balra”, azaz a nagyobb helyiérték felé 2-t.
3) Állapítsuk meg, hogy ez a mozgás milyen kitevővel érhető el, ha a hatványalap 10! ⇒ -2
4) Írjuk fel a végeredményt! ⇒ 0,0845 = 8,45∙10^-2

Ugye milyen gyorsan elvégezhető az átalakítás?

Hogyan alakítjuk vissza a normálalakban megadott számot?

Nézzünk máris egy feladatot!

3. feladat: Melyik számnak a normálalakja a 4,62∙10^4?
Megoldás: 4,62∙10^4 = 46 200.

Vizsgáljuk meg a 10-hatványt! Mivel a kitevő pozitív, az azt jelenti, hogy a tizedesvessző majd a nagyobb helyiérték felé fog mozdulni, az értéke pedig azt mutatja, hogy mennyit, jelen esetben 4 helyiértékkel kell mozdulni.

A technikája a következő:
1) Írjuk fel a szorzat első tényezőjét! ⇒ 4,62
2) Mozdítsuk a tizedesvesszőt a kitevőnek megfelelő irányba és annak megfelelő helyiértékkel! ⇒ jobbra mozdul, 4 helyiértékkel: 462 _ _,
3) Tegyük ki a helyiértékpótéó nullákat! ⇒ 462 0 0,
4) Írjuk fel a végeredményt! ⇒ 4,62∙10^4 = 46 200.

4. feladat: Melyik számnak a normálalakja a 7,9∙10^-3?
Megoldás: 7,9∙10^-3 = 0,0079.

Az előző feladatnál leírt lépéseket követve:
1) Írjuk fel a szorzat első tényezőjét! ⇒ 7,9
2) Mozdítsuk a tizedesvesszőt a kitevőnek megfelelő irányba és annak megfelelő helyiértékkel! ⇒ balra mozdul 3 helyiértékkel: , _ _ 79
3) Tegyük ki a helyiértékpótló nullákat! ⇒ a tizedesvesszővel kezdődő szám arra utal, hogy az egészek értéke az nulla, tehát ilyenkor azt is ki kell tennünk: 0 , 0 0 79
4) Írjuk fel a végeredményt! ⇒ 7,9∙10^-3 = 0,0079.

Összegzés:
Számok felírása normálalakban illetve azok vissza alakítása


Számok felírása normálalakban
1) Mozdítsuk a tizedesvesszőt (az adott számon belül) úgy, hogy 1 és 10 közötti értéket kapjunk (1-gyel lehet egyenlő, de 10-zel nem!);
2) Állapítsuk meg, hogy az új tizedesvesszőnek melyik irányba és mennyit kell mozdulnia, hogy visszakerüljön az eredeti helyére?
3) Állapítsuk meg, hogy ez a mozgás milyen kitevővel érhető el, ha a hatványalap 10!
4) Írjuk fel a végeredményt!

Normálalakban felírt számok vissza alakítása
1) Írjuk fel a szorzat első tényezőjét!
2) Mozdítsuk a tizedesvesszőt a kitevőnek megfelelő irányba és annak megfelelő helyiértékkel!
3) Tegyük ki a helyiértékpótló nullákat!
4) Írjuk fel a végeredményt!

 

Címke , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.