A négyzetgyök és négyzetgyökvonás rejtelmei

Több olvasómtól kaptam jelzést (pl. itt a blogon elhelyezett űrlapmezőn, illetve a kérdőív kitöltésén keresztül), hogy számukra bizony nagy kihívást jelent a négyzetgyökvonással foglalkozó témakör.
Ennek köszönhetően a mai alkalommal ezt a témakört fogom egy kicsit körbejárni.

A négyzetgyökvonás értelmezése, jelentése

Definíció szerint: Négyzetgyök a jelenti azt a nem negatív valós számot, melynek négyzete a.

Szép, rövid, tömör megfogalmazás, de ez alatt mit is kell érteni?

Más szavakkal megfogalmazva: ha az a számnak keressük a négyzetgyökét, akkor olyan számot kell keresnünk, ami nem lehet negatív, továbbá, ha négyzetre emeljük, akkor éppen a-t kapjuk.

Jelöléssel:

 

Néhány szám négyzetgyöke

Az alábbi táblázat tartalmazza 100-ig a négyzetszámok négyzetgyökeit:

Természetesen nem csak négyzetszámból lehet négyzetgyököt vonni. Az alábbi táblázatban erre láthatunk példákat:

Mint látható, a számok négyzetgyöke csak nulla, vagy  valamilyen pozitív (azaz együtt: nem negatív) szám lehet.

Miért olyan fontos ez?
Ha végrehajtjuk a definícióban leírtakat, DE nem vesszük figyelembe, hogy az eredmény csak nem negatív valós szám lehet, akkor nem tudjuk egyértelműen meghatározni egy-egy szám négyzetgyökét.

Miért is?
Nézzük pl. a 16-ot.
A “hamis” definíció szerint: √16 jelenti azt a (!) számot, melynek négyzete 16.
Elsőre azonnal eszünkbe is jut a 4, hiszen 4²=16. Ezzel nincs is baj, ám, ha tovább gondoljuk a folyamatot, akkor van még egy eredmény, mégpedig a (–4). Ebben az esetben is igaz a “hamis” definíció, mert (–4)²=16.

Ahhoz, hogy egyértelmű legyen a meghatározás, ahhoz a definícióban nagyon fontos, hogy szerepeljen a “nem negatív” kifejezés, amit természetesen figyelembe is kell vennünk a feladatok megoldása során..
Ez fogja rejteni számos feladat megoldását, illetve megoldhatóságát is.

Milyen számokból tudunk négyzetgyököt vonni?

Az imént kiderítettük, hogy a számok négyzetgyökei csak nem negatív valós számok lehetnek. Most azt nézzük meg, hogy melyek azok a számok, amikből négyzetgyököt tudunk vonni!
Ehhez visszafelé gondolkodhatunk: induljunk ki a négyzetgyök értékéből, majd vizsgáljuk meg az eredményeket!

(Egy-egy feladatban, ha meg akarunk győződni az állítás helyességéről, helyettesítsünk be három értéket, melyek közül az egyik egy negatív szám, a másik egy pozitív szám, a harmadik pedig a nulla legyen. Most is ezt fogjuk tenni.
Vigyázat! Az, hogy egy képletbe behelyettesítünk három értéket és mindannyiszor igaz állítást kapunk, még nem jelenti azt, hogy minden valós számra igaz az állítás.)

A mi esetünkben mindössze az előjelnek lesz majd fontos szerepe, ezért itt elfogadjuk ezt a fajta ellenőrzést, hiszen a számok értékétől függetlenül vizsgáljuk a kapott eredményeket.

1. A négyzetgyök értéke legyen pozitív: pl.: √a = (+3)
Ha ezt négyzetre emeljük, akkor (+3)²=(+9), azaz az eredményünk pozitív.
2. A négyzetgyök értéke legyen nulla: √a = 0
Ennek a négyzete 0²=0, tehát az eredményünk nulla maradt.
3. Végül nézzük meg azt az esetet, amikor a négyzetgyök értéke negatív (lenne): pl. √a = (–2)
Ennek a négyzetét is kiszámítjuk, s azt tapasztaljuk, hogy (–2)²=(+4), tehát ez is pozitív lett, mint az első esetben.

Mire következtethetünk ebből?
Ha nullától különböző számot emelünk négyzetre, akkor az eredmény pozitív lesz, ha a nullát, akkor pedig marad nulla.
Ebből azt a tanulságot tudjuk levonni, hogy bármely szám négyzete vagy nulla, vagy pozitív (azaz együtt: nem negatív) valós szám.

Mivel ezúttal visszafelé gondolkodtunk, nézzük meg, hogy ez mit is jelent a négyzetgyökvonás irányából!

Olyan szám lehet a négyzetgyök alatt (az a értéke), amely a √a-nak a négyzete. Mivel az előbb azt tapasztaltuk, hogy bármely számnak a négyzete nem negatív valós szám, ezért az a értéke is csak ilyen lehet.
Végső soron tehát megállapíthatjuk, hogy a négyzetgyök alatt csak nem negatív valós szám állhat, ellenkező esetben nem tudjuk elvégezni a négyzetgyökvonást. (Ugyanis láttuk, hogy nincs olyan szám, melynek a négyzete negatív lenne.)

Pl.:

Megjegyzés:
Ø : üres halmaz, jelentése: nincs megoldás

Klasszikus, problémás feladatok, azaz mire figyeljünk, ha négyzetgyököt vonunk?

1. Negatív szám négyzetgyöke
Ebben az esetben a feladatnak nincs megoldása.
(Bármely szám négyzete nem negatív!)

Pl.: √–25 = ?
Nincs megoldás

2. A négyzetgyök értéke negatív
Ebben az esetben sincs a feladatnak megoldása.
(Definíció szerint: … jelenti azt a nem negatív valós számot, …)

Pl.: √a = (–16)
Nincs megoldás

3. Egy szám második hatványának a négyzetgyöke
Ilyen feladatoknál körültekintően kell eljárni. Azt gondolhatnánk, hogy a négyzetre emelés és a négyzetgyökvonás egymás ellentétes műveletei, tehát ha egymás után hajtjuk végre azokat, akkor olyan mintha az eredeti számmal nem is tennénk semmit.
Ám ez nem igaz! (Ez is sok feladat buktatóját rejti.)
Nézzük meg – mint azt korábban is tettük –, hogy mi történik, ha mindhárom esetet külön-külön ellenőrizzük! Első esetben a kiindulási értékünk legyen pozitív, majd nulla, végül negatív szám.
Az eredmények:

Mint látható, ha nem negatív számot emeltünk négyzetre, majd annak vettük a négyzetgyökét, akkor valóban a kiindulási értéket kaptuk. Ám, ha negatív számmal hajtottuk végre ugyanezt a műveletsort, akkor ugyancsak nem negatív eredményt kaptunk.
Általában elmondhatjuk tehát, hogy egy számot négyzetre emelve, majd abból négyzetgyököt vonva az eredmény a kiindulási szám abszolútértéke.
Azaz:

4. Egy szám négyzetgyökének a második hatványa
Ez hasonlít egy kicsit az előző pontban tárgyaltakhoz, ám a sorrend felcserélődik. Először a négyzetgyökvonást kell végrehajtanunk, majd azt követően a négyzetre emelést. Míg a hatványozás minden esetben végrehajtható, addig a négyzetgyökvonás – fentebb igazoltuk – csak akkor végezhető el, ha a gyökjel alatt nem negatív szám szerepel.
Ez azt jelenti, hogyha a négyzetgyökvonást el tudjuk végezni, akkor a műveletsor eredménye megegyezik az eredeti, nem negatív számmal, ha pedig nem tudjuk elvégezni a négyzetgyökvonást, akkor nincs megoldása az adott feladatnak.
Pl.:

 

Tehát összefoglalva: mit is kell tudnunk a négyzetgyökről?

Jelöljük b-vel a √a értékét.

Sok sikert kívánok a gyakorlati alkalmazáshoz!

 

Címke , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.