A mértani sorozat

Az utóbbi bejegyzésekben a számsorozatokról volt szó, egészen pontosan a számsorozatokról, és azon belül a számtani sorozatról.
Ebben a bejegyzésben tovább részletezzük a számsorozatokat, s ezúttal a mértani sorozatok tulajdonságairól, valamint azok felismeréséről lesz szó.

A mértani sorozat “matematikus” megfogalmazásban

A végtelen mértani sorozat:
Olyan számsorozat, melyben létezik q є R\{0}, hogy bármely n є Z+ elemre igaz a következő állítás:
a(n+1) : a(n) = q.

A véges, m (m є Z+; m>1) elemből álló mértani sorozat:
Olyan számsorozat, melyben létezik q є R\{0}, hogy bármely (n є Z+) és (n<m) elemre igaz a következő állítás:
a(n+1) : a(n) = q.

Az R\{0} jelentése: a valós számok halmazából kivesszük a nullát, azaz csak a nullától különböző valós számokat jelenti.

A fenti leírásból látszik, hogy a sorozat egyik eleme sem lehet nulla, hiszen, ha valamely elem mégis nulla lenne, pl.: a(n)=0, akkor az a(n+1) : a(n) hányadost nem tudnánk értelmezni.
Ebből adódóan a “q” értéke sem lehet nulla.

Nézzük meg egy kicsit könnyedebb megfogalmazásban is!

A mértani sorozat “felhasználóbarát” megfogalmazásban

Olyan véges vagy végtelen számsorozat, melyben a szomszédos elemek hányadosa állandó. Ezt a hányadost jelöljük q-val (quotient [kvóciens])!

Ugye így sokkal barátságosabb a dolog?
Nézzük most az egyes elemek különböző felírásait.

A mértani sorozat elemeinek felírása az előtte álló elem ismeretében

Mivel az első tag előtt nem állhat másik elem, ezért azt csak önmagaként tudjuk felírni.

a(1) = a(1)
a(2) = a(1) ∙ q
a(3) = a(2) ∙ q
a(4) = a(3) ∙ q
a(5) = a(4) ∙ q
a(6) = a(5) ∙ q

a(n) = a(n–1) ∙ q

Ez utóbbi összefüggés nagyon hasznos, jegyezzük is meg, ugyanis nem csak az n-edik elemet tudjuk ennek segítségével meghatározni, hanem felhasználhatjuk a q értékének a kiszámításában is.

A mértani sorozat elemeinek felírása az első elem ismeretében

Használjuk fel az előbbi gondolatsort, és (a(3)-tól) minden sorban helyettesítsük be az előtte álló sorban kapott összefüggést!
(Jelölés: a ^ [kalap] a hatványozás jele, azaz a^3 = a ∙ a ∙ a)

a(1) = a(1)
a(2) = a(1) ∙ q
a(3) = [a(1) ∙ q   ] ∙ q = a(1) ∙ q^2
a(4) = [a(1) ∙ q^2] ∙ q = a(1) ∙ q^3
a(5) = [a(1) ∙ q^3] ∙ q = a(1) ∙ q^4
a(6) = [a(1) ∙ q^4] ∙ q = a(1) ∙ q^5

a(n) = a(1) ∙ q^(n–1)

Ezt a képletet is érdemes megjegyeznünk, hiszen erre is nagyon sokszor van szükségünk a feladatok megoldásához.

Az utóbbi összefüggést úgy “olvashatjuk le”, ha – az alábbi módon – átalakítjuk, illetve kiemeljük az egyes sorok elején illetve a végén a megfelelő értékeket:

a(1) = a(1) ∙ q^0
a(2) = a(1) ∙ q^1
a(3) = a(1) ∙ q^2
a(4) = a(1) ∙ q^3
a(5) = a(1) ∙ q^4
a(6) = a(1) ∙ q^5

A mértani sorozat első “n” elemének az összege

Jelölés:
S(n) jelölje a mértani sorozat első “n” elemének az összegét, azaz:
S(n) = a(1) + a(2) + a(3) + … + a(n–1) + a(n)

Pl.: S(4) = a(1) + a(2) + a(3) + a(4)

Helyettesítsük be az egyes tagok értékeit a fenti összefüggésekből.

(1)            S(4) = a(1) + a(1) ∙ q^1 + a(1) ∙ q^2 + a(1) ∙ q^3
(2)       S(4) ∙ q =            a(1) ∙ q^1 + a(1) ∙ q^2 + a(1) ∙ q^3 + a(1) ∙ q^4

Ha kiszámítjuk a két egyenlet különbségét, mégpedig a (2) – (1)-et, majd abból kifejezzük az S(4)-et, akkor a következőt kapjuk:

S(4) ∙ q – S(4) = a(1) ∙ q^4 – a(1)
S(4) ∙ (q – 1) = a(1) ∙ (q^4 – 1)
S(4) = [a(1) ∙ (q^4 – 1)] : (q – 1)

Természetesen a fenti hányadost csak akkor tudjuk meghatározni, ha a q értéke nem egyenlő 1-gyel, hiszen ebben az esetben a nevezőben nulla lenne, azaz nullával kellene osztanunk.

Abban az esetben, ha a q = 1, akkor a sorozat minden eleme ugyanannyi, tehát:
S(4) = a(1) ∙ 4

A fenti példa alapján nézzük meg általánosan is:

(3)            S(n) = a(1) + a(1) ∙ q^1 + a(1) ∙ q^2 + … + a(1) ∙ q^(n–1)
(4)       S(n) ∙ q =            a(1) ∙ q^1 + a(1) ∙ q^2 + … + a(1) ∙ q^(n–1) + a(1) ∙ q^n

Ha kiszámítjuk a két egyenlet különbségét, azaz a (4) – (3)-at, majd abból kifejezzük az S(n)-t, akkor a következőt kapjuk:

S(n) ∙ q – S(n) = a(1) ∙ q^n – a(1)
S(n) ∙ (q – 1) = a(1) ∙ (q^n – 1)
S(n) = [a(1) ∙ (q^n – 1)] : (q – 1)

Természetesen a fenti számolás – ugyanúgy, mint az előbb – csak akkor működik, ha a q értéke nem egyenlő 1-gyel., hiszen ebben az esetben a nevezőben szintén nulla lenne.

Ebben az esetben, azaz, ha q = 1, akkor a sorozat elemei egyenlők egymással, vagyis:
S(n) = a(1) ∙ n

 

Fontos jelölések, képletek a mértani sorozatokkal kapcsolatban

Jelölések:
q: hányados (quotient [kvóciens]);
a(1): első elem értéke;
a(n): a sorozat “n”-edik elemének értéke;

a(n–1): a sorozat “n”-edik elemét megelőző elemének az értéke;
a(n+1): a sorozat “n”-edik elemét követő elemének az értéke.

Képletek:

 

Címke , , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.