A számtani sorozat

A legutóbbi bejegyzésben a számsorozatokról volt szó. Már akkor szerepelt két különleges számsorozat, mégpedig a számtani sorozat és a mértani sorozat. Ebben a bejegyzésben a számtani sorozatok tulajdonságairól, valamint felismeréséről lesz hasznos információ.

A számtani sorozat “matematikus” megfogalmazásban

A végtelen számtani sorozat:
Olyan számsorozat, melyben létezik d є R, hogy bármely n є Z+ elemre igaz a következő állítás: a(n+1) – a(n) = d.

A véges, m (m є Z+; m>1) elemből álló számtani sorozat:
Olyan számsorozat, melyben létezik d є R, hogy bármely (n є Z+) és (n<m) elemre igaz a következő állítás: a(n+1) – a(n) = d.

A fenti megfogalmazás elég bonyolultnak tűnhet, azonban teljesen helyénvaló, hiszen egy számtani sorozatnak valóban ezek a tulajdonságai vannak.

Azonban nézzük meg egy kicsit könnyedebb megfogalmazásban is!

A számtani sorozat “felhasználóbarát” értelmezése

Olyan véges vagy végtelen számsorozat, melyben a szomszédos elemek különbsége állandó. Ezt a különbséget jelöljük d-vel (differentia)!

Ugye így sokkal barátságosabb a dolog?
Nézzük most az egyes elemek különböző felírásait.

A számtani sorozat elemeinek felírása az előtte álló elem ismeretében

Mivel az első tag előtt nem állhat másik elem, ezért azt csak önmagaként tudjuk felírni.

a(1) = a(1)
a(2) = a(1) + d
a(3) = a(2) + d
a(4) = a(3) + d
a(5) = a(4) + d
a(6) = a(5) + d

a(n) = a(n–1) + d

Ez utóbbi összefüggést érdemes megjegyezni.

A számtani sorozat elemeinek felírása az első elem ismeretében

Használjuk fel az előbbi gondolatsort, és (a(3)-tól) minden sorban helyettesítsük be az előtte álló sorban kapott összefüggést!

a(1) = a(1)
a(2) = a(1) + d
a(3) = [a(1) +    d] + d = a(1) + 2∙d
a(4) = [a(1) + 2∙d] + d = a(1) + 3∙d
a(5) = [a(1) + 3∙d] + d = a(1) + 4∙d
a(6) = [a(1) + 4∙d] + d = a(1) + 5∙d

a(n) = a(1) + (n–1)∙d

Ezt a képletet is érdemes megjegyeznünk, hiszen nagyon sokszor szükségünk van rá a feladatok megoldásában.

Az utóbbi összefüggést úgy “olvashatjuk le”, ha – az alábbi módon – átalakítjuk, illetve kiemeljük az egyes sorok elején illetve a végén a megfelelő értékeket:

a(1) = a(1) + 0∙d
a(2) = a(1) + 1∙d
a(3) = a(1) + 2∙d
a(4) = a(1) + 3∙d
a(5) = a(1) + 4∙d
a(6) = a(1) + 5∙d

A számtani sorozat első “n” elemének az összege (1. módszer)

Jelölés:
S(n) jelölje a számtani sorozat első “n” elemének az összegét, azaz:
S(n) = a(1) + a(2) + a(3) + … + a(n–1) + a(n)

Pl.: S(4) = a(1) + a(2) + a(3) + a(4)

Ez a módszer Carl Friedrich Gauss nevéhez fűződik, s még egy szájhagyomány útján terjedő történet is szól ennek felfedezéséről.
(Forrás: Wikipedia: Carl Friedrich Gauss)

A kis Gauss története, ahogyan én hallottam 😉

Egyik alkalommal Gauss tanítójának dolga akadt, ezért azt a feladatot találta ki a gyerekeknek, hogy adják össze a számokat 1-től 100-ig.
Ám, mielőtt még a kalapját véve elhagyta volna a termet, a “kis” Gauss jelentkezet, hogy készen van az eredménnyel. A tanító meglepődött, hogy máris elkészült a feladat megoldásával, de leellenőrizve a gondolatsort, abban hibát nem talált.

Mi is azt az eljárást fogjuk használni, amint annak idején Gauss alkalmazott a feladatának a megoldásában.

Pl.: A példa-feladatban adjuk össze a számokat – az egyszerűség és a könnyebb átláthatóság kedvéért – 1-től 10-ig, mégpedig a számunkra megfelelő módszer segítségével!
Ebben az esetben a(1)=1, a(2)=2, … a(10)=10; továbbá d=1, tehát egy számtani sorozatról beszélhetünk.
A kérdés, hogy mennyi az első 10 elemének az összege, azaz az S(10) értéke?

1)        S(10) =   1  +  2  +  3  +  4  +  5  +  6  +  7  +  8  +  9  + 10
2)        S(10) = 10  +  9  +  8  +  7  +  6  +  5  +  4  +  3  +  2  +   1
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3)      2∙S(10) = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11

2∙S(10) = (1+10)∙10
S(10) = [(1+10)∙10]/2
S(10) = 55

Elemezzük egy kicsit a fent látottakat:
1) Írjuk fel az első 10 elem összegét, a(1)-től a(10)-ig.
2) Írjuk fel ugyancsak az első 10 elem összegét, de most visszafelé. Mivel az összeadásban az egyes tagokat felcserélhetjük, ezért ez nem okoz ellentmondást.
3) Adjuk össze az 1) és 2) kezdetű sorokban található összefüggéseket.
Ekkor megfigyelhetjük, hogy a megfelelő elemek összege minden esetben ugyanannyi, mégpedig most éppen 11.

A továbbiakban már csak ezt az egyenletet kell megoldani, hogy megkapjuk az S(10) értékét, ami jelen esetben 55.

Az S(10) utolsó előtti sorából le tudjuk olvasni, hogy mi lesz az összegképlet, ha azt általánosan szeretnénk felírni.

 

A számtani sorozat első “n” elemének az összege (2. módszer)

Ez már igazából nem is “módszer”, hanem egy másik képlet. Persze ebben sincs semmi ördöngösség, hiszen mindössze annyi történik, hogy a korábban megkapott a(n) értékét behelyettesítjük a legutóbbi S(n) képletünkbe.

Vagyis ismerve az alábbiakat:

Kapjuk a következőt (behelyettesítés és összevonás után):

 

Fontos jelölések, képletek a számtani sorozatokkal kapcsolatban

Jelölések:
d: különbség (differntia);
a(1): első elem értéke;
a(n): a sorozat “n”-edik elemének értéke;

a(n–1): a sorozat “n”-edik elemét megelőző elemének az értéke;
a(n+1): a sorozat “n”-edik elemét követő elemének az értéke.

Képletek:

 

Címke , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.