A számsorozatok általában

Számsorozatok alatt (nagyon lerövidítve az általános definíciót) gyakorlatilag az egymás után felírt számokat értjük.
Mit is kell ez alatt értenünk a matematika nyelvén? Ehhez a függvényekkel kapcsolatos ismereteinkre lesz szükség. Mégpedig arra, hogy mit kell megadnunk ahhoz, hogy függvényt kapjunk. A számsorozatok esetében megadunk egy Értelmezési Tartományt (D(f), É.T.), egy Értékkészletet (R(f), É.K.), majd a hozzárendelés szabályát.

Értelmezési tartomány

A számsorozatok esetében az értelmezési tartomány a pozitív egész számok halmaza (Z+), azaz az 1, 2, 3, 4, … számok. Mint látható, “…” áll a számok után, ami arra utal, hogy a számok folytatódnak tovább, a végtelenségig.
Tehát ebben az esetben egy végtelen elemű számsorozatról beszélhetünk. Amennyiben valahol befejeződik a sorozat, akkor azonban véges számsorozatról beszélünk.

Értékkészlet

Az értékkészlet a valós számok halmaza (R), azaz tetszőleges értéket rendelhetünk bármely értelmezési tartománybeli elemhez.

Hozzárendelés

A hozzárendelés szabályát nem feltételen kell képlettel tudnunk megadni, elég mindösszesen annyi, hogy felírjuk, hogy melyik (értelmezési tartománybeli) elemhez melyik értékkészletbeli elem tartozik.
Előfordulhat az is, hogy az értelmezési tartomány különböző elemeihez ugyanaz az értékkészletbeli érték tartozik, illetve – szélsőséges esetben -, hogy minden eleméhez egyetlen szám tartozik. Utóbbi esetben konstans sorozatról beszélhetünk.

Jelölések

Ahhoz, hogy tudjunk beszélni a sorozatokról, meg kell egyeznünk egy egységes jelölésrendszerben. Ez persze nem egyéni lesz, hanem a matematikában általában a sorozatokra használt jelöléseket fogjuk mi is alkalmazni.
Az értelmezési tartományban megadott számokat “n”-nel jelöljük.
Az n=1  a sorozat 1. elemét, az n=2 a sorozat 2. elemét, az n=3 a sorozat 3. elemét jelenti, és így tovább. Az “n” tehát egy index, amely azt mutatja meg, hogy a sorozat éppen hányadik eleméről beszélünk.

VIGYÁZAT!
Az n=1 a sorozat első elemét, nem pedig az első elem “értékét” jelenti!

Akkor hogyan hivatkozunk a sorozat adott értékére?
A válasz a következő: az “a” sorozat “n“-edik elemét jelentse az “a(n)“. Ebben az esetben a sorozatunk neve az “a” lesz, mögötte zárójelek között pedig, hogy annak hányadik eleméről van éppen szó.
(A legtöbb esetben nem zárójelek között szerepel az elem sorszáma, hanem az “a” mögött alsó indexben.)

Természetesen a fentiek alapján tudunk hivatkozni a sorozat “n“-edik elemére, az a(n) jelöléssel.

Előfordul, hogy szükséges egy adott elem környezetében elhelyezkedő elemre hivatkozni. Ezt is az indexek megfelelő megválasztásával tehetjük meg:
Pl. A “b” sorozat elemei: b(1), b(2), b(3), b(4), b(5), b(6), b(7), b(8), …
A “b” sorozat 6. eleme: b(6). Az előtte álló elem az 5., melynek értéke: b(5). Nyilván a 6. elemet követő elem a 7., amelynek értékét a b(7) jelöli.
Ugyanez a módszer alkalmazható akkor is, ha nem tudjuk pontosan, hogy melyik elem szomszédairól van szó. Ekkor az “n“-edik elem előtt és mögött álló elemek az “n–1“-edik és az “n+1“-edik elem. Ezek értéke pedig (a sorozat maradjon a “b“-jelű) egymást követő sorrendben: b(n–1); b(n); b(n+1).

Amennyiben további szomszédos elemeket kell megadni, akkor a következőt kell látnunk magunk előtt:
A sorozat ezúttal a “c” jelű sorozat legyen:
c(1); c(2); c(3); …; c(n–2); c(n–1); c(n); c(n+1); c(n+2); c(n+3); …

Ezt folytathatjuk a végtelenségig, feltéve, hogy a sorozatunk végtelen elemű. Ha véges elemű sorozatról beszélünk, akkor figyelembe kell vennünk, hogy mennyi a legnagyobb indexű elem, azaz hány elemből áll a számsorozat.

Megjegyzés:
Matematikaórákon általában – nem mindig, – végtelen sorozatokkal foglalkozunk.

Számsorozatok a gyakorlatban

Ezeket megadhatjuk az elemek felsorolásával – figyelve azok sorrendjére -, illetve egyszerű táblázat segítségével.
Pl.:
a.) Páros számok sorozata: 0; 2; 4; 6; 8; 10; …

b.) Az (n ∙ n – 1) képlettel felírható sorozat: 0; 3; 8; 15; 24; 35; …

c.) Véletlenszerűen felírt elemek sorozata: 7; 6; 1,5; 3; (–4); 9; …

 

Számsorozat a derékszögű koordináta-rendszerben

Hogyha a számsorozatot ábrázolni próbáljuk derékszögű koordináta-rendszerben, (mint ahogy egy függvényt szokás,) akkor azt tapasztaljuk, hogy a megfelelő pontok csak az I. és a IV. síknegyedben helyezkedhetnek el.
Ennek nyilván az az oka, hogy az értelmezési tartomány a Z+.
Azt is észrevehetjük, hogy a függvényünknek nagyon sok helyen van “szakadása”, hiszen csak az 1-nél, a 2-nél, 3-nál, stb. helyeken szerepelhetnek pontok, míg a többi helyen (negatív számok, nem egész valós számok, pl.: 0,6; 1,33…; stb.) nem található pont. Így ezeket természetesen össze sem köthetjük, azaz ezek különálló pontok lesznek.

Az alábbi derékszögű koordináta-rendszerben a fenti sorozatok egyes elemei szerepelnek.
Jelmagyarázat: a(n) = zöld; b(n) = kék; c(n) = piros; (A kép klikkeléssel nagyítható.)

 

Leggyakrabban előforduló számsorozatok

I. Számtani sorozat
II. Mértani sorozat

A következő néhány bejegyzésben ezekkel a speciális számsorozatokkal fogunk foglalkozni.

Címke , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.