Műveletek sorrendje – feladatokon keresztül

A matematikában nagyon sokan gondolják azt, hogy azért nem tudják a feladatokat megoldani, mert egyáltalán nem értik. Közben pedig igazából arról van szó, hogy a feladat megoldásának a lépéseit (sorrendben) tudják, ám van közöttük 1-2, amelyiknek a kivitelezése okoz gondot. Ha a helyettesítési értéket kell meghatározni, akkor ahhoz elengedhetetlen a műveletek sorrendjének ismerete.

Milyen műveleteket ismerünk? Azokkal mikor találkozunk?

Tanulmányaink során először az összeadással és kivonással találkozunk, majd megismerkedünk a szorzással, azt követi az osztás. Ezzel be is fejeztük az alapműveletekkel való megismerkedést – már alsó tagozatban.
Az általános iskola felső tagozatán találkozhatunk a hatványozás illetve négyzetgyökvonás műveletekkel.
Persze igazából nem is maga a műveletvégzés a probléma, hiszen ki ne tudna két számot összeadni, kivonni, szorozni, osztani; vagy pedig egy hatvány értékét illetve egy szám négyzetgyökét kiszámítani?
Akkor mi is az igazi probléma?
Addig, amíg csak egy műveletet kell elvégezni, addig általában gond nélkül ki tudjuk oldani. A baj akkor kezdődik, amikor többféle művelet fordul elő egy kifejezésben, és el kell döntenünk, hogy melyiket végezzük el először, másodszor,… stb.? Arról nem is beszélve, hogy teljesen felborítja a számolás menetét, ha zárójelek is tarkítják a kifejezést.
Vagyis az igazi probléma ilyenkor a műveletek sorrendjének ismerete – illetve inkább a NEM ismerete. 🙂

Mi a műveletek sorrendje?

 

1. zárójelen belüli kifejezések – {…}; […]; (…);
2. hatványozás (négyzetgyökvonás);
3. szorzás, osztás – balról jobbra;
4. összeadás, kivonás – balról jobbra;

Nagyon fontos a 3. és 4. pontban szereplő “balról jobbra” feltétel. Ha a műveletsorban csak szorzás és osztás szerepel, akkor azokat a műveleteket úgy oldjuk meg, mint amikor egy könyvben olvassuk a sorokat, tehát balról jobbra. Ugyanígy járunk el, ha a műveletsorban csak összeadás és kivonás szerepel, szintén balról jobbra haladunk.
Ha van mind szorzás/osztás és összeadás/kivonás is a műveletsorban, akkor balról jobbra haladva kiszámítjuk az összes szorzás vagy osztás eredményét, majd (mivel ezután már csak összeadás és kivonás maradhat a műveletsorban,) kiszámítjuk balról jobbra haladva az összeadást és kivonást, ahogy azok sorban követik egymást.

Amennyiben van zárójel a műveletsorban, akkor először csak a zárójelen belüli résszel foglalkozunk, ahol ugyanúgy érvényes a műveletek sorrendjére vonatkozó szabály. Eszerint haladva kiszámítjuk a zárójelen belüli kifejezés értékét, majd azzal továbbszámolva meg tudjuk határozni a teljes műveletsor végeredményét.

Műveletek sorrendje a gyakorlatban

Az alábbiakban nézzünk néhány feladatot, melyekben lépésről-lépésre haladva láthatjuk, hogy miképpen lehet eljutni a pontos végeredményig.
Az első feladatban csak összeadás és kivonás szerepel, a másodikban megjelenik mind a 4 alapművelet, a 3. feladatban már van hatványozás is. A 4. feladatban a négy alapművelet mellett megjelenik a zárójel, míg az utolsó feladatban az alapműveletek mellett szerepel a hatványozás, valamint használunk zárójeleket is.
(Próbaképpen, mielőtt még látnánk egy-egy feladat megoldását, érdemes önállóan kiszámolni a műveletsorok eredményét, majd a végén összehasonlítani a bejegyzésben találhatóval.) 🙂

Íme a feladatok:
1.) –2 – 7 – 3 + 4 – 12 + 25 + 34 – 17 = ?
2.) 186 : 3 – 4 ∙ 5 – 4 ∙ 2 ∙ 3 = ?
3.) 1000 : 4 + 5² – 4 ∙ 2³ + 7 – 11 ∙ 2 = ?
4.) (–2 + 17 – 5) : 2 – (8 – 11 + 6) ∙ (5 – 2) = ?
5.) 3 ∙ (3 + 2 ∙ 5 –6) – (12 – 7 + 2³ – 2 ∙ 5) = ?

Alább pedig a megoldásaik:

1. feladat:
–2 – 7 – 3 + 4 – 12 + 25 + 34 – 17 = ?

Mivel ebben a feladatban csak összeadás és kivonás szerepel, ezért azokat balról jobbra végezzük el. Tehát az egyes lépések és a részeredmények:

(–2) – 7 = (–9) (ebből elvesszük a 3-at)
(–9) – 3 = (–12) (ehhez hozzáadjuk a 4-et)
(–12) + 4 = (–8) (ebből elvesszük a 12-t)
(–8) – 12 = (–20) (…)
(–20) + 25 = (+5) = 5
5 + 34 = 39
39 – 17 = 22

Így a műveletsorunk eredménye: (+22) = 22.

2. feladat:
186 : 3 – 4 ∙ 5 – 4 ∙ 2 ∙ 3 = ?

Itt már megjelentek a szorzás/osztás műveletek is, tehát először ezeket végezzük el balról jobbra.

186 : 3 = 62
4 ∙ 5 = 20
4 ∙ 2 ∙ 3 = 8 ∙ 3 = 24

Nézzük meg, hogy miképpen változik az eredeti műveletsorunk, ha beírjuk a megfelelő helyekre a szorzás és osztás eredményeit:

… = 62 – 20 – 24 = 18

Így a műveletsorunk eredménye: 18.

3. feladat:
1000 : 4 + 5² – 4 ∙ 2³ + 7 – 11 ∙ 2 = ?

Itt már először a hatványozás(oka)t kell elvégezni. Ha több hatványozás is szerepel, akkor ugyanúgy, mint a szorzás/osztás, illetve az összeadás/kivonás esetében, balról jobbra végezzük el őket.

5² = 25
2³ = 8

Ha ezeket az eredményeinket beírjuk a hatványok helyére, akkor a következőt kapjuk:

1000 : 4 + 25 – 4 ∙ 8 + 7 – 11 ∙ 2 = ?

Ha ezt megvizsgáljuk, láthatjuk, hogy több szorzás/osztás is van a feladatban, ezért azokat balról jobbra végezzük el:

1000 : 4 = 250
4 ∙ 8 = 32
11 ∙ 2 = 22

Helyettesítsük vissza az előző műveletsorba a kapott értékeket. Ekkor ehhez a kifejezéshez jutunk:

250 + 25 – 32 + 7 – 22 = ?

Mivel ebben pedig “csak” összeadás/kivonás szerepel, ezért azokat is balról jobbra végezzük el, egymás után, aminek eredményeképpen 228-at kapunk.

Így a műveletsorunk eredménye: 228.

4. feladat:
(–2 + 17 – 5) : 2 – (8 – 11 + 6) ∙ (5 – 2) = ?

Ebben a feladatban már először a zárójeleken belüli műveleteket számítjuk ki:

(–2 + 17 – 5) = 10
(8 – 11 + 6) = 3
(5 – 2) = 3

Vissza helyettesítve a kiszámított értékeket, a következő kifejezést kapjuk:

10 : 2 – 3 ∙ 3 = ?

Ebből pedig egyértelműen következik, hogy a folytatás:

… = 5 – 9 = (–4)

Ez pedig azt jelenti, hogy a műveletsor végeredménye: (–4).

5. feladat:
3 ∙ (3 + 2 ∙ 5 –6) – (12 – 7 + 2³ – 2 ∙ 5) = ?

Ez már nagyon komplikáltnak látszik, persze látni fogjuk, hogy mégsem nehéz megoldani ezt a feladatot sem.
Először a zárójelen belüli műveleteket végezzük el:

3 + 2 ∙ 5 – 6 = 3 + 10 – 6 = 7
12 – 7 + 2³ – 2 ∙ 5 = 12 – 7 + 8 – 2 ∙ 5 = 12 – 7 + 8 – 10 = 3

Helyettesítsük vissza a kapott eredményeinket:

3 ∙ 7 – 3 = 21 – 3 = 18.

A helyes végeredmény tehát a 18.

 

Címke , , , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.