A Pitagorasz-tétel alkalmazása

Sokszor találkoztam már olyan helyzettel, amikor meg volt adva egy képlet amibe “csak” be kellett helyettesíteni az értékeket, ám mégis problémába ütköztünk.
Az egyik ilyen klasszikusnak mondható képlet a Pitagorasz-tételének összefüggését tartalmazza.

Emlékeztető: Mi is a Pitagorasz-tétel?

Ha feltesszük ezt a kérdést, akkor a hallgatóság – a legtöbb esetben – azt fogja válaszolni, hogy a²+b²=c².
Ezzel eddig nincs is baj.
Azzal már annál inkább, hogy itt aztán be is fejezik, és nem folytatják tovább.

Ha a definíciót tekintjük, akkor a tétel arról szól, hogy egy derékszögű háromszög befogóira szerkesztett négyzetek területeinek az összege megegyezik az átfogóra szerkesztett négyzet területével.

Vagyis mit is kell csinálni? – Nézzük csak még egyszer:
A derékszögű háromszög minden oldalára kell szerkeszteni egy-egy négyzetet, majd megvizsgálni ezek területeit. A tétel azt mondja, hogyha a két kisebb négyzet területét összeadjuk, akkor az éppen a nagy négyzet területével fog megegyezni. (Így talán kézzelfoghatóbb.) 😉

(Megjegyzés: A derékszögű háromszög befogói azok az oldalak, melyek közrefogják a derékszöget, azaz a befogók által bezárt szög 90°. Az átfogó pedig a harmadik, vagyis a derékszöggel szemben levő oldal. Célszerű az oldalakat a szögekhez viszonyítva megjegyezni, hiszen azok mindig egyértelműen “láthatók”, akárhogy is forgatjuk a háromszöget.)

Milyen viszony van a tétel és a képlet között?

Ha már tudjuk, hogy miről is szól a Pitagorasz-tétel, akkor egy kicsit vizsgáljuk meg a tétel és a hozzá tartozó képlet kapcsolatát.

A következő ábra egy derékszögű háromszöget ábrázol, a szokásos jelöléssel.

(Megjegyzés: Láthatjuk, hogy a háromszög befogóit az a és b betűkkel, az átfogót pedig c-vel jelöltük.)
Az egyes oldalkra szerkesztett négyzetek területét a T(a)=a², T(b)=b² és a T(c)=c² képletekkel tudjuk kiszámítani.
Ha ezek után felírjuk a Pitagorasz-tétel képletét a tétel alapján, akkor azt tapasztaljuk, hogy T(a)+T(b)=T(c), illetve, ha az előző eredményeket is figyelembe vesszük, akkor az
a²+b²=c² képlethez jutunk.

Mondhatnánk, hogy: “Hát akkor rendben is vagyunk, hiszen mi is ezt mondtuk!”

Sajnos mégsem ilyen egyszerű a helyzet.
Mi a garancia arra, hogy a feladatokban ugyanígy vannak betűzve a derékszögű háromszög csúcsai, oldalai? – Semmi.
Akkor viszont a képletünk csak 1/3 részben használható, mégpedig csak akkor, ha az átfogót jelöljük c-vel.
Ez azt jelenti, hogy a korábbi képlet (a²+b²=c²) így magában még hiányos. Ki kell egészítenünk a következő, nagyon fontos feltétellel:

“…, ahol az a és b a két befogó, a c pedig az átfogó.”

Ezzel a kiegészítéssel már rendben is vagyunk, biztonságosan használhatjuk a “szokásos” képletet is.

Ebből kiindulva viszont a javaslatom a következő: nem azt célszerű alkalmazni, hogy
a²+b²=c², hanem helyette a befogó²+befogó²=átfogó² “mondókát”. Ugyanis ebben az esetben függetlenül a feladat jelöléseitől, az oldalak értékét mindig a megfelelő helyre fogjuk behelyettesíteni.

Nézzünk egy sokszor előforduló feladattípust, melynél, ha nem vagyunk elég körültekintőek, akkor hibás végeredményhez jutunk.

A Pitagorasz-tétel képletének helyes használata

 

1. feladat:
Egy egyenlő szárú háromszög szára 13 egység, magassága 12 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög kerületét!

A szöveges feladatok megoldásáról egy korábbi bejegyzésben már volt szó (Szöveges feladatok megoldása – bevezetés), így ezúttal a hangsúlyt kifejezetten a Pitagorasz-tétel alkalmazására fogjuk helyezni.

Ahhoz, hogy a kerületet ki tudjuk számítani, ismernünk kell a háromszög oldalainak a hosszát. A szárakat (b) már ismerjük, már csak az alapnak (a) a hosszát kellene kiszámítanunk. Ahhoz rajzoljuk be a háromszög alapjához tartozó magasságát (m), és vegyük észre, hogy keletkezett egy derékszögű háromszög (AFC).
Készítsük el tehát a feladathoz tartozó rajzot, jelöljük a megfelelő pontokat, oldalakat, valamint emeljünk ki a számunkra megfelelő derékszögű háromszöget. (A kép nagyítható.)

A végeredményhez vezető úton az egyik állomás az FC szakasz hosszának kiszámítása. Ugyanis az FC szakasz hosszának ismeretében ki tudjuk számítani az a oldal hosszát, hiszen az

a = 2∙FC.

Tekintsük az AFC derékszögű háromszöget, majd alkalmazzuk rá a Pitagorasz-tételt.

Amennyiben a “lerövidített” képletet használjuk, úgy sajnos látható, hogy nem jutnánk helyes eredményhez, mivel a képletben szereplő betűk közül csak a b szerepel a rajzunkon, és az sem a megfelelő helyen. (A képletben a befogót, míg a rajzunkon az átfogót jelöli.)

Alkalmazzuk helyesen a képletet!

a²+b²=c², ahol az a és b a két befogó, a c pedig az átfogó.

Ebben az esetben az a helyére választhatjuk az m-t (vagy az FC-t), a b helyére pedig az FC-t (vagy az m-t).
(Az összeadásban a tagok felcserélhetők, így nem okoz problémát, hogy melyik befogót [m, FC], melyik befogó [a, b] helyére helyettesítjük.)
A c helyére természetesen csak a b-t írhatjuk.
Behelyettesítve tehát a megfelelő oldalak jelöléseit, a jó képlet a következő lesz:

m²+FC²=b²

Ugye, hogy nem hasonlít az eredeti (a²+b²=c²) képletre? (Már ami a betűket illeti.) 🙂

Jöhetnek a számok, majd az egyenlet megoldása:

 12²+FC²=13²
144+FC²=169     /-144
FC²=25               /√
|FC|=5
FC(1) = +5
FC(2) = –5 (ez viszont hamis eredmény: a távolság ugyanis nem lehet negatív!)

Azt kaptuk tehát, hogy az FC = 5 egységgel, vagyis a=2∙FC=2∙5=10 egység.
Ezek után már nagyon könnyű kiszámítani, hogy mennyi a háromszög kerülete: K=a+2b=10+2∙13=10+26=36 egység.

Vegyük észre!
1. A négyzetgyökvonásnál alkalmaztuk az √(x²)=|x| összefüggést, aminek a tárgyalása is megérdemel egy bejegyzést. 🙂
2. Ebben a feladatban nagyon nehéz lenne úgy jelölni az egyes pontokat, oldalakat, hogy egy-az-egyben helyesen működjön a Pitagorasz-tétel “klasszikus” képlete.

Természetesen megfelelő körültekintés mellett működnek csak helyesen az azonosságként is felírt összefüggések, ami sok-sok gyakorlással tanulható, fejleszthető.

Címke , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.