Helyettesítési érték kiszámítása

Sok feladatban van szükség egy-egy kifejezés helyettesítési értékének a kiszámítására. Legtöbbször az egyenletek, egyenlőtlenségek ellenőrzésénél használjuk. A kérdés csak, az, hogy mi a kivitelezés módja, azaz mit kell tennünk, ha a helyettesítési értéket kell meghatároznunk?
(Előismeretként jó, ha tisztában vagyunk a műveletek sorrendjével.)
Lássunk is hozzá!

Mit jelent az, hogy helyettesíteni?

Ha a magyar lexikonokat felütjük, akkor a következőhöz hasonló magyarázatot láthatjuk a helyettesít ige mellett: “valami mást használni valami helyett”.
Valóban, a mi esetünkben is ezt fogja jelenteni. Nézzünk is egy példát, talán úgy könnyebb:

1. feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai kifejezés helyettesítési értékét, ha x = 7!
3x² = ?

Ahogy azt olvashattuk, valami mást használunk valami helyett. Általában egy számot szoktunk használni egy változó (betű) helyett. (Természetesen vannak olyan feladatok, ahol nem ilyen egyszerű a helyzet, pl. egy bonyolult egyenletben az új változó bevezetése során is alkalmazzuk a helyettesítést, csak ez esetben egy változóval helyettesítünk egy másik kifejezést.) A mi esetünkben a 7-et használjuk az x helyett, azaz az x helyére helyettesítjük a 7-et. Ha ezt megtesszük, akkor az alábbi kifejezést kapjuk, melynek az értékét már könnyedén ki tudjuk számítani:

3∙7² = 3∙49 = 147

Mint látható, a helyettesítési érték függ attól az értéktől, amit az ismeretlen helyére helyettesítünk, vagyis nem tudunk helyettesítéssel kapcsolatos feladatokat megoldani anélkül, hogy ismernénk a változó értékét.

Több változó esetén is ki tudjuk számítani a helyettesítési értéket?

Természetesen, akkor viszont minden egyes változónak ismernünk kell az értékét, amit majd be tudunk írni a helyére.
Erre is nézzünk feladatot:

2. feladat:
xy² + x²y + 2xyxy = ?

A helyettesítési érték meghatározásához – az előbbiek alapján – meg kell adnunk mindkét változó (x és y) értékét. Ezek most legyenek a következők: x = 3; y = 5. (A helyettesítési értéket általában a feladat szövege tartalmazza.)
Végezzük el a behelyettesítést, majd számítsuk ki a kifejezés értékét!

3∙5² + 3²∙5 + 2∙3∙5 – 3 – 5 = 3∙25 + 9∙5 + 30 – 3 – 5 = 75 + 45 + 30 – 3 – 5 = 142

Vagyis a helyettesítési érték jelen esetben a 142 lesz.

A helyettesítési érték és az egyenletek

Mikor és hogyan használjuk a helyettesítési érték számítását az egyenletek megoldásában?
Az elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek megoldása című bejegyzésben szerepelnek az egyes lépések, amiket, ha következetesen, hibátlanul végrehajtunk, akkor mindig a jó megoldáshoz jutunk.

– Na, de mi is az a “jó megoldás”?
– A “megoldás” alatt általában egy számot értünk, pl. x = 2. Mitől is lesz ez “jó” megoldás? Attól, hogy az eredeti egyenletbe helyettesítve igaz állítást kapunk, azaz a bal és jobb oldalon számított helyettesítési érték egyenlő.
– Melyik lépésben kell számítani a helyettesítési értéket?
– Az egyenlet megoldásának lépései közül az utolsó (7.) lépése tartalmazza a helyettesítési érték számítását.

Az ellenőrzés részletes kifejtésében olvasható is, hogy az eredeti egyenletbe helyettesítjük a kapott értéket, majd kiszámítjuk az egyes oldalak helyettesítési értékét és végül összehasonlítjuk azokat.

Mit jelent az, hogy “az eredeti egyenletbe helyettesítjük a kapott értéket”?
Az egyenlet megoldása során végrehajtott lépések eredményeképpen a 6. lépés után a következő alakú sort kapjuk: ismeretlen = szám. (pl.: x = 4)
Ez azt jelenti számunkra, hogyha az eredeti egyenlet mindkét oldalán található algebrai kifejezésben az ismeretlen helyére beírjuk az előbbi szám-ot (pl. az x helyére a 4-et), akkor olyan kifejezéseket kapunk, melyekben már nem szerepelnek ismeretlenek, vagyis meg tudjuk határozni az értékeiket, azaz ki tudjuk őket számolni, külön–külön.

VIGYÁZAT!
Nem elkezdjük újra levezetni az egyenletet, hogy 1. törtek…, 2. zárójelek…, stb, hanem elvégezzük a műveleteket, kiszámítjuk azok értékét!

Ha úgy tetszik, akkor tehetjük azt, hogy leírjuk külön, hogy mi áll a bal oldalon, majd behelyettesítjük  a kapott értéket, végül kiszámítjuk a műveletsor eredményét. Ugyanezt megtesszük a jobb oldalon álló kifejezéssel, s a kapott értékeket hasonlítjuk össze.

Természetesen ehhez is álljon itt egy feladat:

3. feladat:
3x – 7 = 2(x + 5)

Az egyenlet levezetésének utolsó sora: x = 17.
Jöhet az ellenőrzés, azaz mindkét oldal helyettesítési értékének a számítása.

B: 3x – 7 = 3∙17 – 7 = 51 – 7 = 44
J: 2(x + 5) = 2∙(17 + 5) = 2∙22 = 44

Mivel mind a bal, mind a jobb oldalon egyaránt 44-et kaptunk, ezért megállapíthatjuk, hogy az egyenletet igazzá teszi a levezetéskor kapott érték, jelen esetben a 17.
(Ügyeljünk arra, hogy az egyenlet megoldása nem a helyettesítési érték számításakor kapott eredmény, hanem az eredeti egyenletbe helyettesített érték, itt ez a 17.)

 

Címke , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.