A logaritmus fogalma, értelmezése

A mai alkalommal a logaritmusról, illetve annak jelentéséről valamint értelmezéséről lesz szó. Nagyon sokan vannak, akiknek ez problémát okoz, pedig “csak” a szemlélet megváltoztatásával már csodás eredményeket lehet elérni. Gondolok itt arra, hogy a logaritmusban ne a mumust lássuk, hanem – az alábbiakat is figyelembe véve – felfedezzük benne a szépséget. Utána már jöhet is a gyakorlás, amiből szinte sosem elég. 🙂

Bevezetés, avagy egy kis ráhangolódás

A logaritmus a hatványozással van szoros összefüggésben, így ahhoz, hogy a logaritmusról beszélhessünk, tisztában kell lennünk a hatványozással, illetve annak alapjaival. Amennyiben hiányosak ezen ismereteink, akkor olvassuk el a “Hatványozás – alapismeretek” című bejegyzést.
Ennyi “előképzettség” után, nézzünk néhány egyszerű feladatot:

1. feladat
2ⁿ = 8

Ebből egyértelműen kitalálhatjuk, hogy az n értéke csak a 3 lehet, hiszen a 8 = 2∙2∙2 = 2³. Tehát a megoldás: n = 3.

2. feladat
3ⁿ = 81

Mivel tudjuk, hogy a 81 = 3∙3∙3∙3 = 3⁴, ezért mondhatjuk, hogy az n értéke ezúttal a 4 lesz, azaz a megoldás: n = 4.

(Megjegyzés: az igazsághoz hozzátartozik, hogy a fenti következtetés során felhasználjuk az exponenciális függvény “szigorúan monoton – ezúttal – növő” tulajdonságát, azonban ahhoz, hogy “megismerkedjünk” a logaritmussal, ahhoz erre még nem lesz szükségünk.
[pl.: Ha valaki lát egy jó autót, nem feltétlen kell azonnal tisztában lennie a pedálok érzékenységével. Majd, ha már beült a kormány mögé, beállította az ülést, tükröket, kapcsolt biztonsági övet, stb. és elindul a garázsból, akkor tapasztalja a pedálok érzékenységét és annak megfelelően fogja erősebben vagy finomabban megnyomni a pedálokat. – Mi is így fogunk tenni, először csak “meglátjuk” a logaritmust.]) 🙂

Mit értsünk tehát a logaritmus alatt?

A célunk elérése érdekében gondolkodjunk el azon, hogy miképpen tudnánk a fenti feladatokat szövegesen megfogalmazni.
Pl.:
1.) 2 az ‘n‘-ediken egyenlő 8, illetve 3 az  ‘n‘-ediken  egyenlő 81 vagy
2.) 2 a valahányadikon egyenlő 8, illetve 3 a valahányadikon egyenlő 81.
3.) A 2-t hányadik hatványra emeljük, hogy 8-at kapjunk, illetve
a 3-at hányadik hatványra emeljük, hogy 81-et kapjunk?

Az első kettő megfogalmazás elég kézenfekvőnek tűnik, de azokkal sajnos – a logaritmus szemszögéből nézve – zsákutcába jutunk, míg a harmadik az nagyon előnyös lesz a számunkra.
Gyakorlatilag el is jutottunk a logaritmus értelmezéséhez, hiszen azt mutatja meg, hogy egy számot hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy egy (nem feltétlen másik) számot kapjunk.
Az előző feladatokat alakítsuk át úgy, hogy azokban megjelenjen a logaritmus is.

 

Ugye milyen bonyolultnak látszik? Pedig most már tudjuk, hogy ezek mit is jelentenek. 🙂

Logaritmus általában

A logaritmus általános jelentése a következő:

Hogyan is olvassuk?

a alapú logaritmus b egyenlő x, ahol az a és b eleme a pozitív valós számok halmazának, és az a nem egyenlő 1-gyel.

Az a jelenti a logaritmus alapját, a b pedig az argumentumát. Mindkettő pozitív valós szám kell, hogy legyen, sőt, a logaritmus alapja nem lehet 1.

Kapcsolat a logaritmus és a hatványozás között

Az előzőekben már sok szó esett arról, hogy szoros kapcsolat van a logaritmus és a hatványozás között. Most lássuk, hogy miképpen lehet ezt megfogalmazni:

Ezek szerint:

Az a alapú logaritmus b jelenti azt a számot (x), amelyre az a-t emelve b-t kapjuk.

(Megjegyzés: a fentiekből az is kitűnik, hogy a logaritmus értéke [x] tetszőleges valós szám lehet.)

Ezt a megfogalmazást szoktuk használni a logaritmus definíciójaként, ami természetesen nagyon-nagy segítséget nyújt a logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásában, illetve értelmezésében.

 

 

Címke , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.