Törtek megszüntetése az egyenletben

Egy korábbi bejegyzésben már szó volt arról, hogy miképpen lehet megoldani az elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket. Abban olvasható, hogy az első lépés – természetesen, ha az egyenletben van tört –, hogy megszüntessük a törteket.
Az eltávolításukhoz kétféle módszert szoktak alkalmazni és mindenki a saját belátása szerint kiválaszthatja azt, amelyik neki könnyebben megy, vagy a végrehajtása biztonságosabb.

1. módszer: Minden törtet bővítéssel hozzunk közös nevezőre, majd mindkét oldalt szorozzuk meg ezzel a közös nevezővel!

Ez azt jelenti, hogy meg kell állapítanunk, hogy a feladatban szereplő törteknek mi a közös nevezője. Ez a szám a nevezők legkisebb közös többszöröse. Ennek kiszámítását már egy korábbi bejegyzés tárgyalja: Legkisebb Közös Többszörös jelentése, kiszámítása.

Ha már tudjuk, hogy mennyi a közös nevező, akkor elvégezzük a bővítést. Ez törtek esetében azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is megszorozzuk ugyanazzal a számmal. Azt, hogy melyik számmal kell megszorozni a számlálót és a nevezőt is, azt a nevezők döntik el. A kérdés, amire választ kell kapnunk minden egyes esetben, az a következő: Mennyivel szorozzuk meg a nevezőt, hogy az előbb kiszámított közös nevezőt kapjuk? Ha ezt tudjuk, akkor már csak meg kell vele szoroznunk a számlálót.
Ezt tegyük meg minden egyes törttel.

Ezek után már olyan az egyenletünk, amelynek minden törtjének azonos a nevezője. Így már könnyedén megszüntethetjük a törteket. Nem kell mást tennünk, mint az egyenlet mindkét oldalát – körültekintően(!) – megszorozni a törtek nevezőjével.

Nézzük még egyszer tehát az egyes lépéseket, amiknek végrehajtásaként eltűnnek a törtek:

1. közös nevező megállapítása;
2. a törteket közös nevezőre hozzuk bővítéssel;
3. mindkét oldalt megszorozzuk a közös nevezővel.

Mit sem érnek a fenti lépések, ha nem tudjuk alkalmazni őket, ezért nézzünk egy feladatot:

1. Az első lépésben könnyen megállapíthatjuk, hogy mennyi a közös nevező, azaz melyik az a legkisebb  pozitív szám, amely osztható a nevezők mindegyikével, vagyis a kérdés: [3; 2; 4; 6] = ?. Ezt könnyen beláthatjuk, hogy a 12.

2. Hozzuk közös nevezőre a törteket! Ehhez vizsgáljuk meg ezeket egyenként. Az előbb megállapítottuk, hogy minden törtnek a nevezője 12 kell, hogy legyen. Ehhez az első törtet 4-gyel (12:3=4) kell bővíteni. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt is 4-gyel! A nevező nem meglepő módon 12 lesz, hiszen ez is volt a célunk, a számlálóban pedig használjunk zárójelet. Vannak, akik azonnal fel is bontják ezeket a zárójeleket, de én mégis azt javaslom, hogy inkább hagyjuk meg – legalábbis az első néhány feladatnál, amíg még nem igazán látjuk, hogy minek, mi lesz a következménye.
A második törtet 6-tal (12:2=6) kell bővítenünk, a harmadikat 3-mal (12:4=3) és végül a negyediket 2-vel (12:6=2). A nevező így minden tört esetében 12 lesz, a számlálóban pedig egy zárójeles kifejezés.
(Ha lett volna olyan törtünk, melynek a nevezője már eredetileg is 12 lett volna, akkor a számláló változatlan marad, illetve megszorozhatjuk 1-gyel, hogy megjelenjen a zárójel is.)
Az eddig elvégzett lépések után a következő egyenletet láthatjuk:

3. Az utolsó lépésben valóban eltüntetjük a törtek nevezőit – mindenféle bűvésztudás nélkül. Ehhez mindkét oldalt megszorozzuk a közös nevezővel, jelen esetben a 12-vel.
Felhasználjuk azt az ismeretünket, hogy a törtvonal osztást is jelent, így a törtek egyik olvasata szerint a számlálót elosztjuk 12-vel, majd utána meg is szorozzuk 12-vel (hiszen mindkét oldal minden tagját meg kell szoroznunk 12-vel), vagyis az eredmény maga a számláló lesz.
Gyakorlatilag – szinte – csak “elhagyjuk” a nevezőket, és csak a számlálókat írjuk egymás mellé. Ügyeljünk azonban arra, hogyha a tagok között van nem tört alakú (algebrai egész) kifejezés, akkor azt is meg kell szoroznunk 12-vel. A mi feladatunkban a sor végén álló 9-et is meg kell szoroznunk 12-vel, ami 108.
Így a törtek megszüntetése után az egyenletünk a következőképpen változott meg:

 

2. módszer: Mindkét oldalt – körültekintően – szorozzuk meg a közös nevezővel!

Ennél a lehetőségnél mindössze két lépésünk van, mégpedig az előző megoldás lépései közül a középsőt kihagyva:

1. közös nevező megállapítása;
2. mindkét oldalt szorozzuk meg a közös nevezővel.

Az első lépésben – a korábbiakhoz hasonlóan – könnyedén meg tudjuk állapítani a közös nevezőt, vagyis a nevezők legkisebb közös többszörösét. Amint megvan a közös nevező. akkor azzal kell megszoroznunk az egyenlet mindkét oldalát.

A szorzás során a figyelembe kell vennünk, hogy a törtvonal egyrészt osztást, másrészt pedig zárójelet is jelent. Ez utóbbit úgy kell érteni, hogy a számláló teljes tartalmát (mintha zárójelben lenne) osztjuk a nevezővel, nemcsak a számláló utolsó tagját.
Az egyes törtek szorzását a következő mondóka segítségével tudjuk könnyedén elvégezni:

“A számlálót szorozzuk ‘A’-val és osztjuk ‘B’-vel, az olyan, mintha a számlálót szoroznánk ‘C’-vel.”

Itt természetesen az ‘A’ helyére a közös nevezőt, a ‘B’ helyére a tört eredeti nevezőjét, a ‘C’ helyére pedig azok hányadosát (C=A:B) helyettesítjük.Ennek segítségével a tört helyett írhatjuk a ‘C’-szeresét a zárójelek közé írt számlálónak.

Ezt is nézzük meg egy feladaton keresztül:

1. A közös nevező a [2; 3; 6; 9], ami 18.
2. Szorozzuk meg mindkét oldal minden tagját a közös nevezővel, tehát a 18-cal!
A megvalósítást itt is tagonként hajtjuk végre. Az első tört esetén a mondókánk így hangzik:
“A számlálót megszorzom 18-cal és elosztom 2-vel, az olyan, mintha a számlálót szoroznánk 9-cel.”
Ennek eredményeként a 9∙(3x-5)-öt írjuk. A következő törtnél szorzunk 18-cal és osztunk 3-mal, azaz a számlálót szorozzuk 6-tal. Tehát: 6∙(7-x) lesz a következő tag. Folytatjuk a harmadik törttel, vagyis szorzunk 18-cal és osztunk 6-tal, azaz a számlálót szorozzuk 3-mal, amiből: 3∙(5x-3) lesz. A negyedik tört esetén pedig szorzunk 18-cal és osztunk 9-cel, azaz a számlálót szorozzuk 2-vel, tehát: 2∙(x-2) lesz.

Az egyenletben szereplő algebrai egészeket is meg kell szoroznunk a közös nevezővel, jelen esetben a 18-cal. Ebben a feladatban csak 1 db ilyen tag szerepel, mégpedig a sor végén álló 1. Ha ezt megszorozzuk 18-cal, akkor abból 18 lesz.
Nézzük tehát, hogy mit kaptunk a két lépés végrehajtása után az eredeti törtes egyenletből:

 

A törtek megszüntetésének buktatói

A fentiek alapján már mindenki könnyedén eltüntetheti a törteket az egyenletekből, azonban az alábbiakban összegyűjtöttem, hogy melyek azok a mozzanatok, amikre nagyon oda kell figyelnünk ahhoz, hogy valóban hibamentes legyen a feladatmegoldásunk:
– célszerű a nevezők közös többszörösei közül a legkisebbet választani, azaz a legkisebb közös többszöröst használjuk (lkkt);
– bővítésnél a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a (nem nulla) számmal szorozzuk;
– a számláló minden tagját szorozzuk a megfelelő számmal;
– ügyeljünk a törtek előtt álló műveleti jelre, főleg, ha az kivonás – ilyenkor fokozottan ajánlott a zárójel használata;
– mindkét oldal minden tagját szorozzuk a közös nevezővel;
– az algebrai egészeket se felejtsük el megszorozni a közös nevezővel.

Címke , , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.