Szöveges feladatok megoldása – bevezetés

Nagyon sok tanulótól kaptam (és rendszeresen kapok) olyan visszajelzést, hogy a matematika legnehezebb témaköre a szöveges feladatok megoldása.
Nem tagadom, valóban tud nehéz lenni egy-egy feladat, de, ha egy kicsit más szemszögből nézzük a feladatokat, akkor beláthatjuk, hogy igazából nem is olyan nehéz a feladatok többsége.
(Természetesen vannak olyan feladatok, melyeken van, hogy akár hónapokig gondolkodunk, mire megvilágosodunk, vagy egyszerűen csak “beugrik” a megoldás.) 😉

Miért nem tudják sokan megoldani a szöveges feladatokat?

Amikor szembesülök a ténnyel, miszerint nem tudom megoldani a szöveges feladatokat, akkor általában az a kifogás, hogy “ezeket nem értem”.
Ha megkérdezem, hogy hogyan próbálta megoldani az ilyen feladatokat, akkor – általában – a következő folyamatot hallom:

1. elolvasom és kigyűjtöm az adatokat;
2. felírom az egyenletet
3. megoldom az egyenletet, végül
4. írok szöveges választ.

El kell, hogy mondjam: nagyon sokan gondolják így… – az elején. Aztán megbeszéljük, hogy miképpen célszerű egy szöveges feladatot megoldani és rácsodálkoznak, hogy “Jééééé, így nem is olyan nehéz!”. Persze közben kiderül, hogy jó néhány lépéssel többre kell bontani a szöveges feladatok megoldását, amit van aki ösztönösen “megérez”.

Hogyan lehet megoldani a szöveges feladatokat?

 

1. Elolvassuk a feladat szövegét – elejétől a végéig.
2. Elolvassuk a feladat szövegét és értelmezzük a feladatot.
3. Rajzolunk.
4. Kigyűjtjük az adatokat.
5. Megkeressük az adatok és az ismeretlen közötti kapcsolatot.
6. Felírjuk az egyenletet (egyenlőtlenséget).
7. Megoldjuk az egyenletet (egyenlőtlenséget).
8. Kiszámítjuk a szükséges értékeket.
9. Ellenőrizzük a feladatot.
10. Írunk szöveges választ.

A fenti lista lépéseit követve “könnyedén” megoldhatjuk a szöveges feladatok többségét, azonban hiába vannak meg az egyes lépések egymás után, nem biztos, hogy mindenki számára teljes világos, hogy mit is kell tennie az egyes lépések alkalmával. (Pl. mi a különbség az első két lépés között?)
Nézzük tehát pontról-pontra.

1. Elolvassuk a szöveget

Ebben a lépésben az a célunk, hogy felismerjük, hogy milyen típusú szöveges feladattal állunk szemben, illetve, hogy saját szavainkkal meg tudjuk fogalmazni, hogy miből, mit kell kiszámítani?
Ezeknek a megállapításához nem biztos, hogy elég mindössze egyszer elolvasni a feladatot – az elejétől a végéig. Ha nem tudjuk ezt a három dolgot (témakör; miből; mit), akkor olvassuk el annyiszor, hogy meg tudjuk válaszolni az előző kérdéseket.
A témakört tekintve 6 típusfeladatot szoktunk elkülöníteni (ezeken belül további csoportosítás lehetséges, de nekünk arra – egyelőre – nincs szükségünk):
– számok és mennyiségek közötti összefüggés;
– számok helyiértékével kapcsolatos feladatok;
– fizikai számítással kapcsolatos feladatok (általában az út-idő-sebesség összefüggés felhasználásával);
– kémiai számítással kapcsolatos feladatok (keverékek illetve oldatok előállítása, töménységük meghatározása);
– együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok;
– geometriai feladatok.
Az, hogy miből mit kell kiszámítani, az minden feladatnál eltérő lehet, arra itt nem tudok rövid választ adni, mindenképpen a feladat szövegére van szükség annak megválaszolásához.

2. Értelmezzük a feladatot

Célunk, hogy a feladatot el tudjuk képzelni, mint egy rajzfilmet. Kinek melyik rajzfilm a kedvence, annak alapján választhat stílust (báb, gyurma, animáció, 3D,…),  szereplőt aki a feladat szövegének megfelelően cselekszik, így már “láthatóvá”, “kézzel foghatóvá” téve magát a feladatot.
Addig, amíg ezt nem látjuk magunk előtt, addig hiába is megyünk tovább, mert a későbbiek folyamán (összefüggés keresése az adatok és ismeretlen között) úgyis elakadnánk, illetve rátalálnánk a megoldásra ahelyett, hogy tudnánk.
Ezen csak a többszöri olvasással tudunk segíteni.
VIGYÁZAT!!!
Az, hogy valaki szépen, hangsúlyozva, érthetően, folyamatosan olvassa (nem futja!) végig a feladat szövegét, az még nem jelenti azt, hogy el is tudja képzelni annak a tartalmát! Ez csak megfelelő gyakorlás után válik ösztönössé.
Ebben sokat tud segíteni az esti mese – azaz az este, ágyban olvasott mese. 😉

3. Rajzolunk

Amit az előbb elképzeltünk, abból rajzoljuk le azt, amit fontosnak tartunk. Feladattípustól függően ez a rajz a következő lehet (csak néhány példa)
– számok, mennyiségek: könyvespolc több polccal, a polcokon különböző számú könyvekkel;
– geometriai feladatok: elkészítjük a megfelelő alakzatot, annak berajzoljuk az ismert pontjait, szakaszait, “vonalait”;
– fizikai számítások: lerajzoljuk, hogy hol van a két “város”, mi, merre közlekedik;
– kémiai számítások: milyen keverékünk/oldatunk van, milyen lesz;
– együttes munkavégzés:”mekkora” munkát kell végezni (kert, kád), milyen egyéb jellemzők vannak (felásott terület, csap[ok]-lefolyó[k]).

4. Adatok gyűjtése

Már “látjuk” magunk előtt a feladatot, kb. tudjuk, hogy miből, mit akarunk kiszámolni, jöhet az adatok kigyűjtése a feladat szövegéből.
Ezt célszerű táblázatba rendezni, hogy könnyen átlátható és érthető legyen, s a későbbiek folyamán is könnyen le tudjuk olvasni az éppen szükséges információkat.
Milyen táblázatot készítsünk? Ez feladattípustól függ.
Általában a 4 oszlopból és 4 sorból álló táblázatba minden szükséges információ el szokott férni, persze előfordul, hogy több oszlopra, vagy több sorra van szükség. (Természetesen vannak olyan esetek is, amelyekben kevesebb sorra van szükség.)
Hogyan töltsük fel adatokkal?
A feladat szövegét olvassuk – szinte szavanként “megrágva” újraértelmezve az olvasottakat. Amint “adathoz” érünk, azt azonnal írjuk be a táblázat megfelelő cellájába. Elengedhetetlen, hogy az egyik mezőbe ismeretlen kerüljön, (középiskolában már akár kettő is,) sőt, általában olyan algebrai kifejezést tartalmaznak az egyes cellák, melyben szerepel ismeretlen. Természetesen kell lennie számokat tartalmazó mezőknek is. 🙂

5. Összefüggés keresése

Az adatok gyűjtése során kitöltöttük a táblázat minden celláját. Vagy számmal, vagy ismeretlennel, vagy egy ismeretlent is tartalmazó algebrai kifejezéssel. A feladattípusnak és persze a feladat szövegének megfelelően összefüggést kell keresnünk az egyes cellák tartalma között.
Általában elmondható, hogy vagy sor, vagy pedig oszlop alapján tudjuk felírni a várva-várt egyenletet, illetve egyenlőtlenséget.
Erre általános recept nincs, esetleg az egyes feladattípusokhoz lehet egy-egy összefüggés-tervet felírni.

6. Egyenlet, egyenlőtlenség felírása

Ebben a lépésben az előbb felismert összefüggést formalizáljuk, azaz az egyes cellákból – az összefüggés alapján – egymás mellé írjuk a megfelelő mezők tartalmát, a megfelelő műveleti jelek felhasználásával. Azt megmondani, hogy pontosan mit kell felírni, az lehetetlen, hiszen ahány feladat, annyi  módon lehet abból felírni az egyenletet, egyenlőtlenséget.
Ami fontos, hogy az egyenletnek tartalmaznia kell az adatok közötti összefüggést.
Ez lehet pl. a két cella tartalmának összege egyenlő egy számmal, ha olyan a feladat szöveg, hogy két szám összege adott érték.

7. Egyenletet, egyenlőtlenség megoldása

Ez talán az eddigiekhez képest a legkönnyebb részfeladat, hiszen “csak” meg kell oldanunk az egyenletet, egyenlőtlenséget. Be kell tartanunk az egyenletek megoldásánál tanultakat és akkor semmi problémánk nem lehet. (A feladatok többségében egyenletekkel, egyenletrendszerekkel találkozunk. Az egyenlőtlenségek illetve egyenlőtlenség rendszerek ritkán fordulnak elő a szöveges feladatok témakörnél.)
Milyen “egyenletekkel” találkozhatunk? Nem minden esetben tudjuk egyszerűen egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel felírni az összefüggéseket, hiszen előfordulhat, hogy csak több ismeretlennel tudjuk kitölteni a táblázatot. Ekkor azonban nem elegendő 1 egyenlet, hanem ugyanannyinak kell lennie, mint ahány ismeretlen. Ellenkező esetben nem tudunk pontos választ adni a feltett kérdésre, legfeljebb az értékeknek csak az intervallumát tudjuk meghatározni (mettől meddig vehet fel értékeket).
Az előforduló egyenletek, egyenletrendszerek lehetnek:
– elsőfokú egyismeretlenes egyenlet;
– elsőfokú, de több (általában 2) ismeretlenes egyenletrendszer;
– másodfokú egyenlet;
– másodfokú több (általában 2) ismeretlenes egyenletrendszer; illetve
– magasabb fokú egyenlet.
(Ezek megoldásának módjára ez a bejegyzés nem terjed ki.)

8. A hiányzó értékek kiszámítása

Ha megkaptuk az ismeretlen(ek) értékét, akkor az még nem feltétlen a feladat kérdésére adandó válasz értéke. Erre a megoldást általában a táblázat első (a fejsor alatti) sorában található mezők tartalmában kell keresnünk, amiknek az értékét már könnyen meg tudjuk határozni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy a mezők tartalmában található algebrai kifejezések helyettesítési értékét meghatározzuk.
A helyettesítési érték számításához az ismeretlen helyére be kell írnunk az egyenletek megoldásakor kapott értékeket, majd az így kapott műveletsor értékét kell meghatároznunk.
(Ezeket az eredményeket a táblázat celláiba – más színnel – be is írhatjuk.)

9. Feladat ellenőrzése

Emlékezzünk vissza, hogy amikor megoldunk egy egyenletet (szöveges feladat nélkül), akkor ott is szerepel az ellenőrzés. Mi a különbség e két ellenőrzés között? Gyakorlatilag ott is a feladatot ellenőriztük, hiszen az volt a kérdés, hogy (az alaphalmazból) mely számok teszik igazzá az egyenlet állítását. Mit tettünk? A kapott értéket az egyenlet első sorába helyettesítettük, majd kiszámítottuk a bal és jobb oldalon kapott kifejezések értékét. Ha egyeztek, akkor (legtöbb esetben) hibátlan volt az egyenletünk levezetése, tehát valóban a kérdésre kaptuk meg a választ.
Jelen esetben is a feladatot kell ellenőriznünk, hiszen mit nyerünk azzal, ha az egyenletet jól oldottuk meg, csak maga az egyenlet felírása során vétettünk hibát?
Ahhoz, hogy nyugodt szívvel mondhassuk, hogy a kapott értékek a feladat megoldásai, ahhoz a feladat szövegét kell újra elővenni, és annak megfelelően ellenőrizni az eredményeinket.
Amennyiben azt tapasztaljuk, hogy a számított értékek igazzá teszik a feladatban támasztott összes feltételt, akkor mondhatjuk azt, hogy a kapott eredmények a feladat megoldásai.

10. Szöveges válasz írása

A szöveges feladatokat úgy szoktuk zárni, ahogy nyitjuk. Szöveggel kezdődik, tehát szöveggel zárjuk.
Mi kerüljön bele a szöveges válaszba? Csak annyi, amennyi a kérdésre pontosan megadja a választ.
Pl.:
Kérdés: Melyik ez a két szám?
Válasz: A két szám a 123 és a 45,6.
K: Hány éves a két testvér?
V: A (fiatalabb, egyik,…) lány/fiú 12, a (másik, idősebb,…) lány/fiú 15 éves.
K: Mekkora az átfogó?
V: Az átfogó hossza: 64,2 cm.
K: Milyen töménységű lesz a keverék?
V: A keverék 45% töménységű lesz.

Összegzés

Nézzük sorra, hogy melyek azok a lépések, amelyeket egy-egy szöveges feladat megoldása során végre kell hajtanunk – címszavakban:

1. Elolvassuk
2. Értelmezzük
3. Rajz
4. Adatok
5. Összefüggés
6. Egyenlet felírása
7. Egyenlet megoldása
8. Hiányzó értékek
9. Ellenőrzés
10. Szöveges válasz

A fenti 10 lépés természetesen egy idő után nem fog elkülönülni, hiszen minél több feladat megoldásán vagyunk túl, annál többször vesszük észre, hogy gondolatban már nem is a következő, hanem az az utáni lépésnél tartunk, csak a kezünk nem tudja olyan gyorsan lejegyezni a szükséges információkat. Persze ebben az esetben könnyen előfordulhat, hogy a következő lépést valóban jól látjuk, de, ha az aktuális lépésre nem fordítunk kellő figyelmet, akkor lehet, hogy ott tévedünk. Ami tévedés persze gördül tovább egészen az ellenőrzésig – hacsak azt is el nem számoljuk. 🙂

Végül is azt állíthatom, hogyha valaki a fenti 10 lépést következetesen alkalmazza, akkor a szöveges feladatokkal már nem nagyon lesz problémája. Természetesen attól, hogy ezeket a lépéseket sorrendileg tudjuk, nagyon fontos, hogy azokat végre is tudjuk hajtani. 😉

Ez viszont csak nagyon sok gyakorlással valósítható meg.
Tehát minden kedves gyakorolni vágyónak sok türelmet és kitartást kívánok!

– Matematika Segítő –

 

Címke , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.