Legkisebb Közös Többszörös kiszámítása

A múlt alkalommal foglalkoztunk a legnagyobb közös osztóval. Most annak a párja, a legkisebb közös többszörös lesz terítéken.
Legtöbbször az oszthatóságnál a törtműveleteknél valamint a tört együtthatós egyenleteknél van nagy szükség a legkisebb közös többszörös megkeresésére, kiszámítására.
Persze ahhoz, hogy ezt meg tudjuk határozni, ahhoz először is tudnunk kell, hogy mit is jelent maga a fogalom, majd egy módszert, amivel könnyedén eljutunk annak az értékéhez.

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:

OSZTHATÓSÁG:
oszthatósági szabályok, prímtényezős felbontás,
legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

Legkisebb közös többszörös jelentése:

 

Két vagy több szám legkisebb közös többszöröse a számok közös többszörösei közül a legkisebb.
Jele: [   ;    ], illetve LKKT.

(Ez utóbbit inkább csak rövidítésként használjuk) 🙂

Hogyan is értsük a fenti definíciót? Induljunk ki a fogalom szavainak jelentéséből.
közös többszörös: a számok azon többszörösei, melyek mindkét (vagy több) számnak többszörösei,
legkisebb: ezek közül kell megkeresnünk a legkisebbet.

Egy lehetőség a kiszámításra:

 

1. feladat:
Keressük meg a 2 és a 3 legkisebb közös többszörösét!

Ha a szabály alapján haladunk (ilyen kis számoknál ezt is megtehetjük), akkor először meg kell keresnünk a számok többszöröseit:
2 többszörösei: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, …;
3 többszörösei: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, …

Ezek után keressük meg ezek közül a közös többszörösöket, azaz azokat, melyek mindkettő szám többszörösei között szerepelnek. Ezek a 6, 12, 18, 24, 30, …
Végül válasszuk a közös többszörösök közül a legkisebbet, jelen esetben ez a 6.
Tehát: [2; 3] = 6. (olv.: A 2 és a 3 legkisebb közös többszöröse 6.)

Nézzünk olyan esetet, ahol több szám szerepel:

2. feladat:
Keressük meg a 2, 3 és 5 legkisebb közös többszörösét!
Jelöléssel: [2; 3; 5] = ?

Az előzőek szerint a többszörösök külön-külön:
2 többszörösei: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, …;
3 többszörösei: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, …;
5 többszörösei: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, ….

Válasszuk ki ezek közül a közös többszörösöket: 30, 60, 90, …;

Végül ezek közül a legkisebb: 30.
Tehát a legkisebb szám ami a 2-nek, 3-nak és az 5-nek is többszöröse, az a 30.
Jelöléssel: [2; 3; 5] = 30.

A legkisebb közös többszörös kiszámításának másik módja:

A módszer lépései:

1: Elkészítjük a számok prímtényezős felbontását;
2: Kigyűjtjük az ÖSSZES prímtényezőt és azokat felírjuk szorzótényezőként;
3: Az előforduló legNAGYOBB kitevőre emeljük az előbbi prímtényezőket.

Nézzük egy példán keresztül a fenti lépések alkalmazását:

3. feladat:
Számítsuk ki a 12 és a 45 legkisebb közös többszörösét! Jelöléssel: [12; 45] = ?

1. lépés: “…prímtényezős felbontás…”
12 = 2²∙3¹;
45 = 3²∙5¹;

2. lépés: “…összes prímtényező…”
a prímtényezők alapján a szorzat: 2∙3∙5;

3. lépés: “…legnagyobb kitevő…”
a megfelelő kitevők felhasználásával: 2²∙3²∙5¹;

Ezek alapján: [12; 45] = 2²∙3²∙5¹ = 180.

(A 2. és a 3. lépést célszerű így szétválasztani – legalábbis akkor, amikor még nem vagyunk biztosak a kiszámítás módjában. Amennyiben már túl vagyunk jó néhány feladaton, akkor már nem kell ennyire kategorikusan elkülönítenünk az egyes lépéseket.)

Legkisebb közös többszörös alkalmazása:

A leggyakrabban előforduló feladat, ahol szükséges a LKKT keresése, az a különböző nevezőjű törtek összeadása illetve kivonása.
Ezeknél a műveleteknél – mint tudjuk – először közös nevezőre hozzuk a törteket (bővítéssel), majd összeadjuk vagy kivonjuk a számlálókat, míg a nevezőt már nem változtatjuk.
De melyik számot célszerű közös nevezőnek választani? Nyilván azt, amelyik mindkettő nevezőnek többszöröse, sőt ha lehet, akkor az legyen a legkisebb. Vagyis ez a szám az előforduló nevezők legkisebb közös többszöröse.

4. feladat:
Állapítsuk meg az alábbi törtek közös nevezőjét, majd végezzük el az összeadást!

Ha a fenti módon megállapítjuk, hogy a legkisebb közös többszörösük 180 (lásd 3. feladat), az azt jelenti, hogy a törteket olyan törtekké alakítjuk (bővítjük), amelyeknek a nevezője 180.
Ezek alapján:

valamint

Ezeket felhasználva az összeadás már könnyedén elvégezhető:

Vagyis a végeredmény:

 

Címke , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.