Legnagyobb Közös Osztó kiszámítása

Legtöbbször az oszthatóságnál valamint a törtműveleteknél van nagy szükség a legnagyobb közös osztó megkeresésére, kiszámítására.
Persze ahhoz, hogy ezt meg tudjuk határozni, ahhoz először is tudnunk kell, hogy mit is jelent maga a fogalom, majd egy módszert, amivel könnyedén eljutunk annak az értékéhez.

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:

OSZTHATÓSÁG:
oszthatósági szabályok, prímtényezős felbontás,
legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

Legnagyobb közös osztó jelentése:

 

Két vagy több szám legnagyobb közös osztója a számok közös osztói közül a legnagyobb.
Jele: (   ;    ), illetve LNKO.

(Ez utóbbit inkább csak rövidítésként használjuk) 🙂

Hogyan is értsük a fenti definíciót? Induljunk ki a fogalom szavainak jelentéséből.
közös osztó: a számok azon osztói, melyek mindkét (vagy több) számnak osztói,
legnagyobb: ezek közül kell megkeresnünk a legnagyobbat.

Egy lehetőség a kiszámításra:

 

1. feladat:
Keressük meg a 6 és a 15 legnagyobb közös osztóját!

Ha a szabály alapján haladunk (ilyen kis számoknál ezt is megtehetjük), akkor először meg kell keresnünk a számok osztóit külön-külön:
6 osztói: 1, 2, 3, 6;
15 osztói: 1, 3, 5, 15.

Ezek után keressük meg ezek közül a közös osztókat, azaz azokat, melyek mindkettő szám osztói között szerepelnek. Ezek az 1 és a 3.
Végül válasszuk a közös osztók közül a legnagyobbat, jelen esetben ez a 3.
Tehát: (6; 15) = 3. (olv.: A 6 és a 15 legnagyobb közös osztója 3.)

Nézzünk olyan esetet, ahol több szám szerepel:

2. feladat:
Keressük meg a 12, 24 és 30 legnagyobb közös osztóját!
Jelöléssel: (12, 24, 30) = ?

Az előzőek szerint az osztók külön-külön:
12 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 12;
24 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24;
30 osztói: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Válasszuk ki ezek közül a közös osztókat: 1, 2, 3, 6.
Végül ezek közül a legnagyobb: 6.
Tehát a legnagyobb szám ami a 12-nek, 24-nek és a 30-nak is osztója, az a 6.
Jelöléssel: (12, 24, 30) = 6.

A legnagyobb közös osztó kiszámításának másik módja:

A módszer lépései:

1: Elkészítjük a számok prímtényezős felbontását;
2: Kigyűjtjük a KÖZÖS prímtényezőket és azokat felírjuk szorzótényezőként;
3: Az előforduló legKISEBB kitevőre emeljük az előbbi prímtényezőket.

Nézzük egy példán keresztül a fenti lépések alkalmazását:

3. feladat:
Számítsuk ki a 252 és a 270 legnagyobb közös osztóját!
Jelöléssel: (252; 270) = ?

1. lépés: “…prímtényezős felbontás…”
252 = 2²∙3²∙7¹;
270 = 2¹∙3³∙5¹;

2. lépés: “…közös prímtényezők…”
közös prímtényezők alapján a szorzat: 2∙3;

3. lépés: “…legkisebb kitevő…”
a megfelelő kitevők felhasználásával: 2¹∙3²;

Ezek alapján: (252; 270) = 2¹∙3² = 18.

(A 2. és a 3. lépést célszerű így szétválasztani – legalábbis akkor, amikor még nem vagyunk biztosak a kiszámítás módjában. Amennyiben már túl vagyunk jó néhány feladaton, akkor már nem kell ennyire kategorikusan elkülönítenünk az egyes lépéseket.)

Legnagyobb közös osztó alkalmazása:

A leggyakrabban előforduló feladat, ahol szükséges a LNKO keresése, az a számlálós-nevezős törtek egyszerűsítése.
A tört egyszerűsítésénél – mint tudjuk – a számlálót és a nevezőt is elosztjuk ugyanazzal a (nem nulla) számmal.
De melyik számmal célszerű egyszerűsíteni? Nyilván azzal, amelyik mindkettőnek (a számlálónak is és a nevezőnek is) osztója, sőt ha lehet, akkor az legyen a legnagyobb. Vagyis ez a szám a számláló és a nevező legnagyobb közös osztója.

4. feladat:
Egyszerűsítsük a következő törtet!

Ha a szokásos módon egyszerűsítjük a törtet, akkor valószínűleg több lépésben tudjuk megtenni:

Lám, 3 lépésben el is jutottunk a tört legegyszerűbb alakjáig. (Először 2-vel, majd 3-mal és újra 3-mal egyszerűsíthettük a törteket.)

Ha tudjuk, hogy a legnagyobb közös osztójuk 18 (lásd 3. feladat), akkor egy lépésben – 18-cal – egyszerűsítve a törtet, azonnal a tört legegyszerűbb alakjához jutunk:

 

 

Címke , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.