A 7 és a 11 oszthatósági szabálya

Mivel az elmúlt bejegyzésekben már nagyon jól belemerültünk ebbe a témakörbe, úgy gondolom, hogy hiba lenne kihagyni a 7 és a 11 oszthatósági szabályát.
A hetet azért, mert így akkor 2-10-ig minden számhoz tudunk szabályt felírni, a tizenegyet pedig azért, mert nem nehéz – az eddigiekhez képest, sőt még érdekes is. 🙂

Mely számok oszthatók 7-tel?

Ehhez az osztóhoz is létezik oszthatósági szabály, ám ezúttal szintén eltekintek a bizonyítástól, inkább az alkalmazásra helyezném a hangsúlyt.

A maradék meghatározásához az 1, 3, 2, –1, –3, –2 számsor az, ami számunkra fontos. Ennek a megjegyzése – az ismétlődés miatt – nem okoz különösen nagy problémát, hiszen az 1-3-2 számsor először pozitív, majd negatív előjellel szerepel egymás után.

A maradék meghatározásának a menete:
Az osztandó egyes helyiértékén álló számjegyet szorozzuk meg 1-gyel, majd adjuk hozzá a tízes helyiértéken álló számjegy 3-szorosát, ehhez adjuk hozzá a százas helyiértéken álló számjegy 2-szeresét, amihez adjuk hozzá az ezres helyiértéken álló számjegy (–1)-szeresét, a tízeszres helyiértéken álló számjegy (–3)-szorosát, ahhoz adjuk a százezres helyiértéken álló számjegy (–2)-szeresét.
Ha ennél (6-nál) is több számjegyből áll az osztandó, akkor a hetedik helyiértéktől (millió) kezdve újra az 1, 3, 2, –1, –3, –2 számokkal meg megszorozni az egyes helyiértékeken álló számjegyeket, majd venni az így képzett szorzatok összegét. (Ügyelve a negatív előjelű számokra is!)

Ha ezzel megvagyunk, akkor a neheze már kész is. Ezután állapítsuk meg, hogy a kapott összeg 7-tel  osztva mennyit ad maradékul. Amennyi a kapott maradék, ugyanannyi az eredeti szám 7-es maradéka is.

Hogyan működik ez a gyakorlatban?

Feladat:
Mennyi maradékot kapunk, ha a 647937-et elosztjuk 7-tel?

Írjuk fel a megfelelő műveletsort, azaz vegyük az egyes helyiértékek (megfelelően) súlyozott összegét:

1∙7+3∙3+2∙9+(–1)∙7+(–3)∙4+(–2)∙6 = 7+9+18+(–7)+(–12)+(–12) = 3

Így a 647937-nek a 7-es maradéka is 3 lesz. Ha elvégezzük az ellenőrzést, akkor valóban azt kapjuk, hogy a maradék 3. 🙂

Mely számok oszthatók 11-gyel?

A meghatározás módja nagyon egyszerű:
Adjuk össze a számjegyeket váltott előjellel. Ez azt jelenti, hogy az egyes helyiértéken álló számjegy pozitív, a tízes helyiértéken álló negatív, a százasok helyiértékén álló újra pozitív, majd az ezresekén megint negatív és így tovább, amíg el nem fogynak a számjegyek.
Ha az így kapott eredmény negatív, akkor adjunk hozzá 11-et annyiszor, amíg pozitív nem lesz. Végül állapítsuk meg, hogy az így kapott szám osztható-e 11-gyel.
Ennek az osztásnak a maradéka megegyezik az eredeti számhoz tartozó 11-es maradékkal.
Tehát, ha ez nulla, akkor az eredeti szám is osztható 11-gyel, ha nem nulla, akkor az eredeti számot elosztva 11-gyel, ugyanennyi kell, hogy legyen a maradék.

Nézzünk meg a gyakorlatban:

Feladat:
Állapítsuk meg a 6548193 szám 11-es maradékát!

A váltott előjelű összeadás műveletsora a következő lesz:

3 – 9 + 1 – 8 + 4 – 5 + 6 = -8

Mivel ez negatív érték, adjunk hozzá 11-et (annyiszor, hogy pozitív legyen).

–8 + 11 = 3

Ez azt jelenti, hogy a 6548193-at 11-gyel osztva a maradék 3 lesz.
Aki nem hiszi, járjon utána. 😉

Címke , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.