Összetett oszthatósági szabályok

A korábbi oszthatósági szabályokra vonatkozó bejegyzés tartalmazza a 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25, 100, 125, 1000 oszthatósági szabályait. Ám mi a helyzet az olyan osztókkal, mint a 6, 12, 15, 18 vagy más összetett számok? Ezekre is van külön-külön egy-egy szabály?
Az igazság az, hogy minden számhoz lehet találni megfelelő oszthatósági szabályt. Csakhogy ekkor nagyon sok szabályt kellene fejben tartanunk. Ezért abban az esetben, ha “csak” azt kell eldöntenünk, hogy egy szám osztható-e az adott számmal vagy sem, akkor folyamodhatunk egyszerűbb megoldáshoz is.
Erre szolgál az összetett oszthatósági szabályok alkalmazása, amiknek a magyarázatát igyekszenek megadni az alábbi sorok.

Frissítve: Gyakorláshoz elérhető az ALGEBRA következő kötete:

OSZTHATÓSÁG:
oszthatósági szabályok, prímtényezős felbontás,
legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

A 6-ra vonatkozó összetett oszthatósági szabály:

A magyarázat menete ebben az esetben a következő lesz:
Először megadom a szabályt, majd azt, hogy miképpen kell azt értelmezni.
Tehát a szabály:

Egy szám akkor osztható 6-tal, ha a szám osztható 2-vel ÉS 3-mal.

Ez azt jelenti, hogy megnézzük, hogy a szám 2-vel osztható-e, azaz 2-vel osztva nulla lesz-e a maradék, továbbá megvizsgáljuk, hogy a szám 3-mal osztható-e, azaz 3-mal osztva nulla lesz-e a maradék.
(Ezekre az osztókra vonatkozó szabályokat tárgyalja az Oszthatósági szabályok című bejegyzés.)
Ha mind a két osztóval megvizsgálva a maradék nulla, akkor a vizsgált szám osztható 6-tal is.

Egy kis magyarázat, hogy miért is a 2 és a 3 segítségével tudjuk meghatározni a 6-tal való oszthatóságot:
Nagyon könnyen kitalálhatjuk ennek az okát, hiszen kinek ne jutna eszébe, hogy 2*3=6?
Az eljárásnak ez az egyik feltétele, vagyis az új osztók szorzatának meg kell egyeznie a keresett osztóval. (Jelen esetben az új osztók a 2 és a 3, az eredeti osztó pedig a 6.)
A következő összetett oszthatósági szabálynál találkozhatunk a másik fontos feltétellel. 🙂

1. feladat:
Állapítsuk meg, hogy a 14658 osztható-e 6-tal!

(Tehát nem az a kérdés, hogy 6-tal osztva mennyi a maradék, hanem, hogy osztható-e vagy sem.)
Ahhoz, hogy ezt eldönthessük, állapítsuk meg először a 2-es maradékot. Az erre vonatkozó szabály szerint a 2-es maradék nulla. Állapítsuk meg a 3-as maradékot is. A szabály szerint a 3-as maradék is nulla. Ez azt jelenti, hogy a 14658-at 6-tal osztva is nulla maradékot kapunk, tehát a szám (14658) osztható 6-tal.

2. feladat:
Állapítsuk meg, hogy a 69142 osztható-e 6-tal!

Mint az előbb, állapítsuk meg először a 2-es maradékot. Az erre vonatkozó szabály szerint a 2-es maradék nulla. Állapítsuk meg a 3-as maradékot is. A szabály szerint a 3-as maradék 1. Ez azt jelenti, hogy a 69142-őt 6-tal osztva NEM nulla maradékot kapunk, tehát a szám (69142) NEM osztható 6-tal.
A maradék pontos értéke felől nem tudunk biztosat, csak annyit, hogy nem nulla, tehát lehet 1, 2, 3, 4 vagy 5. (Ha az osztást elvégezzük, akkor valóban azt tapasztaljuk, hogy a maradék: 4.)

3. feladat:
Állapítsuk meg, hogy a 934527 osztható-e 6-tal!

Az előzőekhez hasonlóan állapítsuk meg a 2-es maradékot. Az erre vonatkozó szabály szerint a 2-es maradék 1. Mivel ez nem 0, ezért már nem is számolom a 3-ra vonatkozó maradékot, hiszen az hiába is lenne nulla, 6-tal akkor sem osztható. Ez annak a következménye, hogy a szabályban “ÉS” kapcsolat szerepel, aminek a jelentése, hogy mindkét feltételnek egyszerre kell teljesülnie.
Ezekből tehát az következik, hogy a szám (934527) NEM osztható 6-tal.
A maradék pontos értéke felől itt sem tudunk biztosat, csak annyit, hogy ugyanúgy nem nulla. (Ha az osztást itt is elvégezzük, akkor azt kapjuk, hogy a maradék: 3.)

A 12-re vonatkozó összetett oszthatósági szabály:

Az előző szabálynak megfelelően határozzuk meg a 12-re vonatkozó szabályt!
Ehhez először határozzuk meg a 12 osztópárjait, majd vizsgáljuk meg őket!
Az osztópárok: az 1–12; 2–6; 3–4. (Ezek szorzata egyenként 12.)

Ha az első osztópárt (1–12) használjuk fel, akkor a szabályunk a következő kellenem hogy legyen:

“Egy szám akkor osztható 12-vel, ha osztható 1-gyel ÉS 12-vel.”

Látható, hogy ezzel a szabállyal nem jutunk közelebb a megoldáshoz, hiszen 1-gyel minden (alaphalmazba tartozó) szám osztható, a 12-nek pedig éppen most szeretnénk meghatározni az oszthatósági szabályát.

Nézzük a következő (2–6) osztópár esetét:

“Egy szám akkor osztható 12-vel, ha osztható 2-vel ÉS osztható 6-tal.”

Ez már jobbnak tűnik, tegyük próbára.
Pl. Tudjuk, hogy a 24 osztható 12-vel, tehát ellenőrizzük a szabályunkat: A 24 2-vel osztva nulla maradékot ad, 6-tal osztva szintén nulla lesz maradék. Ebből úgy látszik, hogy minden rendben van, működik a szabályunk.
Azonban ne hamarkodjuk el a döntést, hiszen, ha egy elemre megnéztük, abból még nem következik, hogy az minden szám esetén működni fog!
A következő példa legyen a 18 oszthatóságának a vizsgálata. Láthatjuk, hogy 2-vel és 6-tal osztva is nulla maradékot ad, tehát oszthatónak kell(ene) lennie 12-vel is. Ám ez mégsem igaz.
Ebben az esetben viszont nem választhatjuk általános szabálynak a 12-re vonatkozóan. 🙁

Már csak egy osztópár maradt (3–4), azt is ellenőrizzük le!
A szabályunk természetesen a következőképpen hangzik:

“Egy szám akkor osztható 12-vel, ha osztható 3-mal ÉS 4-gyel.”

Ellenőrzés:
Az előzőhöz hasonlóan nézzük meg a 24 valamint a 18 oszthatóságát.
24 esetében: látható, hogy 3-mal és 4-gyel osztva nulla a maradék, tehát osztható 12-vel is, ami valóban igaz is.
18 esetében: itt a 3-mal végzett osztás maradéka nulla, ám 4-gyel osztva 2 a maradék, tehát ebből az következik, hogy 12-vel nem osztható, ami szintén megfelel az igazságnak.
Mivel a várakozásnak megfelelően működik a szabályunk, ezért kijelenthetjük, hogy:

“Egy szám akkor osztható 12-vel, ha osztható 3-mal ÉS 4-gyel.”

(A fenti gondolatsor nem tekinthető “bizonyítás”-nak, de arra éppen elegendő, hogy – legalábbis néhány elemre – lássuk a működésének a helyességét.)

Mi a különbség a második és a harmadik osztópár elemei között? Miért működik az egyik és miért nem működik a másik?
A megoldás a párok legnagyobb közös osztójában (röv.: LNKO) rejlik. A 2–6 számok legnagyobb közös osztója 2, a 3–4 számok legnagyobb közös osztója pedig 1. Abban az esetben, ha a legnagyobb közös osztó 1, akkor működik az osztópár két eleme, mint új osztók, ellenkező esetben pedig nem. 🙂

Összetett oszthatósági szabályok keresése

A fentiek alapján már saját magunk is “kitalálhatunk” összetett oszthatósági szabályokat. Mindössze arra kell figyelnünk, hogy a következő két feltételnek eleget tegyenek:
1. az új osztók szorzata egyenlő az eredeti osztóval, továbbá
2. az új osztók legnagyobb közös osztója 1 legyen.

Feladat:
Keressünk összetett oszthatósági szabályt a 30-hoz!

Azaz hogyan tudjuk egy számról eldönteni, (az osztás tényleges elvégzése nélkül), hogy osztható-e 30-cal?
Írjuk fel a 30-at szorzatalakban. (Kiindulhatunk a prímtényezős felbontásból.)

30 = 2*3*5

Az alábbiakban pedig a kapott felbontás elemeit fogjuk csoportosítani és azok segítségével oszthatósági szabályokat “gyártani”.

Mivel a (2; 3; 5) = 1 (olv.: a 2, a 3 és az 5 legnagyobb közös osztója 1), ezért a második feltételt is kielégíti, így kijelenthetjük, hogy:

“Egy szám akkor osztható 30-cal, ha osztható 2-vel ÉS 3-mal ÉS 5-tel.”

Más csoportosításban: (2*3)*5 — egyrészt 2*3=6; másrészt (5; 6) = 1. Ebből szintén készíthetünk egy szabályt:

“Egy szám akkor osztható 30-cal, ha osztható 5-tel ÉS 6-tal.”

Fokozhatjuk: 3*(2*5) — egyrészt 2*5=10; másrészt (3; 10) = 1. Az ebből készíthető szabály:

“Egy szám akkor osztható 30-cal, ha osztható 3-mal ÉS 10-zel.”

Végül: 2*(3*5) — egyrészt 3*5=15; másrészt (2; 15) = 1. A hozzá tartozó szabály:

“Egy szám akkor osztható 30-cal, ha osztható 2-vel ÉS 15-tel.”

Sajnos ez utóbbival nem sokra megyünk, hiszen a 15-tel való oszthatóságnak a meghatározása egy újabb összetett oszthatósági szabállyal adható meg. 🙁 Vigaszul szolgáljon, hogy van helyette bőven. 🙂

Az így elkészített szabályok közül – szerintem 😉 – a legegyszerűbb: a 3–10 osztópárhoz kapcsolható, vagyis én azt alkalmaznám.

Mikor lesz az LNKO=1? – még egy kis segítség…

Mit tegyünk, ha nem tudjuk, hogy miképpen lehet kiszámítani a legnagyobb közös osztó értékét? Vagy azt sem tudjuk, hogy mi az a legnagyobb közös osztó?
(Az alábbi módszer csak osztópárokra működik, számhármasokra, számnégyesekre nem használható.)
Ha van egy osztópárunk, akkor azt írjuk fel számlálós-nevezős tört alakban. A számláló legyen az egyik szám (pl. a kisebb), a nevező legyen a másik szám (kizárásos alapon a nagyobb).
Ha az így kapott törtet tudjuk egyszerűsíteni, akkor a legnagyobb közös osztójuk nem 1, tehát nem használhatók új osztókként. Ha a törtet nem lehet egyszerűsíteni, akkor pedig a legnagyobb közös osztójuk az 1, vagyis használhatók új osztókként.

Címke , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.