Számlálós-nevezős törtek felírása tizedestört alakban

Egy korábbi bejegyzésben (Számhalmazok a matematikában) szó volt a tizedestörtek valamint a számlálós-nevezős törtek közötti kapcsolatról. Az alábbiakban belátjuk, hogy miként lehet átalakítani a számlálós-nevezős törteket tizedestörtté.
Ehhez előismeretként két dologra van szükségünk:
1) az írásbeli osztás elvégzésének – technikai – ismeretére, valamint
2) a törtvonal: osztás jelentésére.

Az átalakítás menete

Mivel a törtvonal tehát osztást (is) jelent, így nem lesz nehéz dolgunk, hiszen a számlálót csak el kell osztanunk a nevezővel és máris eljutottunk a tizedestört alakhoz.

Pl.: 1/2 = 1:2 = 0,5;
1/4 = 1:4 = 0,25;
2/5 = 2:5 = 0,4;
3/8 = 3:8 = 0,375; stb.

A fenti példák mindegyikében olyan eredményeink voltak, ahol az osztás nulla maradékkal fejeződött be. Az ilyen törtek a véges tizedestörtek.
Nagyon sokszor fordul elő azonban, hogy a maradék nem nulla, hanem valamilyen más érték.

Pl.: 1/3 = 1:3 = 0,333…;
1/6 = 1:6 = 0,1666…;
1/9 = 1:9 = 0,111…; stb.

Ezekben a példákban mindig 1 számjegy ismétlődik (Pl.: itt a 3, a 6 és az 1). Ez a “szakasz“, amit úgy jelölünk, hogy az ismétlődő számjegy fölé teszünk egy pontot.

Mivel az sem teljesül minden esetben, hogy a tizedestörtek végén csak 1 számjegy ismétlődik, így meg kell említenünk azt az esetet is, amikor a szakasz több  jegyből áll.

Pl.: 3/11 = 3:11 = 0,272727…;
43/99 = 43:99 = 0,434343…;
1/7 = 1:7 = 0,142857142857142857… stb.

Ilyenkor a szakasz már több jegyből áll (pl.: 2-jegyű; 2-jegyű; 6-jegyű). Ebben az esetben általában kétféle jelölés van használatban:
1) a szakasz első és utolsó számjegye fölé egy-egy pontot teszünk;

2) a szakasz számjegyei fölött vonalat húzunk.

Én – személy szerint – a második variációt tartom előnyösebbnek, hiszen ilyenkor sokkal szembetűnőbb, hogy mettől-meddig tart a tizedestörtben a szakasz, azaz melyek azok a számjegyek, amelyek a végtelenségig ismétlődnek.

Az így előállított tizedestörtek csoportosítása

A fenti gondolatsorból – miszerint írásbeli osztást alkalmazunk – következtethetjük, hogy a számlálós-nevezős törtek tizedestört alakja mindig
1) véges, vagy pedig
2) végtelen szakaszos tizedestört lesz.

Az első esetben a maradék nulla lesz, így be is fejezzük az osztást, tehát valóban véges lesz a tizedestört.
A második esetben a maradékok között nem jelenik meg a nulla, hanem csak attól eltérő értékek. Ilyenkor mi is lehet a maradék? Azt tudjuk, hogy 0 nem lehet és az osztó értékét sem érheti el (hiszen akkor a hányados aktuális számjegyét kellene növelnünk 1-gyel), vagyis az osztónál kisebbnek kell lennie.
Ha az osztó pl.: 7, akkor a maradék lehet 1, 2, 3, 4, 5; és 6. Ezeknek a száma véges, mégpedig az osztó értékéből elvéve 1-et értékkel egyenlő. Így megkapjuk a lehetséges különböző maradékok számát – természetesen a nullán kívül.
Mivel az osztás folyamata során csak ezek a maradékok jöhetnek szóba, így – néhány lépés után – újra elő kell fordulnia valamely korábbi maradéknak. Onnantól kezdve pedig a további hányadosok és a hozzájuk tartozó maradékok már egyezni fognak a korábban szereplő értékekkel.
Így az osztás hányadosának számjegyei már ismétlődni fognak, azaz a végeredményünk végtelen, szakaszos tizedestört lesz.

Ügyeljünk persze arra, hogy az osztásnál az egész helyiértékekkel mindig el kell végezni az osztást, csak a tizedesjegyeknél vizsgálhatjuk, hogy a kapott maradék korábban már szerepelt-e az osztásban vagy sem. Amennyiben már a tizedesjegyeket számoljuk, úgy összehasonlíthatjuk a tizedesjegyek számítása közben kapott maradékokkal az éppen aktuális maradékot.
Az ilyen esetek elkerülése végett célszerű a számlálós-nevezős törteket – ha az értékük nagyobb 1 egésznél – vegyestört alakban felírni. Ekkor a törtrészt át tudjuk alakítani tizedestörtté a fenti módszerrel, majd a kapott értékhez hozzáadjuk az egész rész értékét. Természetesen megfelelő számú feladat elvégzése után eltekinthetünk a vegyestörtté alakítástól. 🙂
 

Címke , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.