A szögfüggvények használatának trükkje – derékszögű háromszögben

Miért is okoz nagyon sok középiskolás számára a szögfüggvények használata problémát, ha a derékszögű háromszögön belül kell alkalmazni? Pedig elvileg “csak” beütjük a számológépbe, és már meg is van az eredmény.
Vagy mégsem? 🙂 Mik azok a buktatók, amikre, ha odafigyelünk, akkor máris kezes báránnyá változnak a korábban ragadozó bőrébe bújt(atott) szögfüggvények?

Először azt kell tisztáznunk, hogy mi is az a szögfüggvény?
Többféleképpen is megfogalmazhatjuk:
0.) Nagyon röviden azt mondhatnánk, hogy a szögekhez rendelt állandó. (Sajnos ezzel azonban a későbbiek folyamán nem nagyon tudunk továbbhaladni. 😉 )
1.) A derékszögű háromszög adott hegyesszögéhez tartozó konstans, melyet a megfelelő oldalak hányadosából kapunk.
2.) Az O közepű, egység sugarú körbe, a tengelyekkel adott szöget bezáró sugár (megfelelő) vetülete, illetve azok hányadosa.

Talán a fenti megfogalmazások elég misztikusak, ám, ha nézünk (először az 1. értelmezés alapján) egy-egy magyarázatot, akkor máris érthetőbb lesz.

1. értelmezés (derékszögű háromszögben)

Négy trigonometrikus függvényt szoktunk (elsősorban) megkülönböztetni. Ezek a sinus (sin) [szinusz], cosinus (cos) [koszinusz], tangens (tg, tan) [tangens] és a cotangens (ctg, cot) [kotangens]. Természetesen ezek így önmagukban mit sem érnek, hiszen hozzá kell kapcsolni valamilyen szöget, pl.: sin 30°; cos 60°; tg 45°; ctg 90°.

Ekkor már el tudjuk képzelni, vagy akár meg is tudjuk szerkeszteni azt a derékszögű háromszöget, melynek az egyik szöge pl. 30°-os. Látható, hogy nincs megadva a háromszög egyik oldalának a hossza sem, csak a szögei, azaz végtelen sok olyan háromszög készíthető, melyekre igazak az előző tulajdonságok: derékszögű háromszög; egyik szöge 30°-os.

Ezekben az esetekben a 30°-os szöggel szemközti befogó hosszát elosztva  – ugyanennek a háromszögnek – az átfogójának a hosszával, mindig ugyanazt a számot kapjuk, ebben az esetben pontosan ½-et. Meglepő lehet ez a felismerés, hiszen a háromszögek nem egybevágók. Ezt a hányadost, az állandót, vagy konstanst hívjuk a 30° szinuszának, aminek a jele: sin 30° = ½.

Ha más oldalak hányadosát tekintjük, akkor más lesz az elnevezés is.
Az alábbiakban olvasható, hogy az egyes szögfüggvényekhez mely oldalak hányadosát kell venni.

sin α = α szöggel szemközti befogó

átfogó
cos α = α szög melletti befogó

átfogó
tg α = α szöggel szemközti befogó

α szög melletti befogó
ctg α = α szög melletti befogó

α szöggel szemközti befogó

Mint a fenti leírásokban is látható, nem azt célszerű memorizálni, hogy

sin α = a

c

hiszen ez csak akkor működik, ha a háromszögünkben ugyanígy vannak betűzve az oldalak.
Ha “csak” a derékszögű háromszögünk van és mi adjuk meg az elnevezéseket, akkor természetesen ügyelünk a megfelelő jelölésre, és tökéletesen használható mindkét hozzárendelés. A legtöbb esetben azonban még a megfelelő háromszöget is nekünk kell megkeresnünk egy feladaton belül (pl.: háromszögben, négyzetben, téglalapban, trapézban vagy akár egy szabályos hatszögben).

Ezt a felírást (mármint a “hosszú” szövegest) azért is tartom előnyösebbnek, mert így csak egy “szabályt” kell megtanulnunk, még esély sincs arra, hogy belekeveredhessünk az oldalak jelölésébe, behelyettesítésébe, hiszen egyértelműen látszik, hogy melyik az az oldal, ami a szöghöz viszonyítva vele szemben illetve mellette helyezkedik el, valamint, hogy az adott oldal befogó vagy átfogó.

Hogyan lehet megjegyezni a fenti szabályokat? Segíthet, hogyha valamilyen logikát keresünk bennük.
Pl.:
1.) a sin és cos függvényeknél a nevező mindig az átfogó;
2.) a tg és ctg függvényeknél csak a befogók szerepelnek;
3.) ha csoportosítjuk a függvényeket: sincos, illetve tgctg, akkor a párok első függvényeinél (sin ill. tg) a számláló mindig az α szöggel szemközti befogó;

2. értelmezés (egység sugarú körben)

Ehhez az értelmezéshez képzeljünk el egy derékszögű koordináta-rendszert, s abban egy O középpontú, 1 egység sugarú kört. Rajzoljuk be a körnek egy sugarát, ami α szöget zár be az x koordináta-tengellyel (1. ábra).

1. ábra

A sugarat merőlegesen vetítsük az x, és az y tengelyekre. Ekkor az OP sugárnak az x tengelyre eső merőleges vetülete – az OA szakasz hossza – a cos α, az y tengelyre eső vetülete – az OB szakasz hossza – a sin α. A tg α a sin α és a cos α hányadosa, a ctg α pedig a cos α és a sin α hányadosa, azaz:

tg α = sin α

cos α
ctg α = cos α

sin α

Kapcsolat a kétfajta értelmezés között:

Hogyan lehetséges, hogy a függvényeknek – látszólag ugyan, de – kétfajta “alakja” van? Ennek a kérdésnek a megválaszolásához emeljünk ki az 1. ábrából egy derékszögű háromszöget (OAP).
Az OAP háromszögben a következőket ismerjük:
1.) OP = 1 e (egység);
2.) az A csúcsnál derékszög van;
3.) az α szög az O csúcsnál van (POA szög).

Ezeket az adatokat figyelembe véve és behelyettesítve az 1. értelmezés képletébe, a következőt kapjuk:

sin α = α szöggel szemközti befogó AP AP

 =
 =
 = AP  = OB
átfogó OP 1

Tehát az első értelmezésből kiindulva a megfelelő szakaszokat behelyettesítjük, az ismert értéket (OP = 1) is beírjuk az átfogó=OP helyére, akkor a második értelmezésben leírtakat kapjuk.
Természetesen ugyanezen elvet követve, a többi szögfüggvényre is az elvárt eredményeket kapjuk:

cos α = α szög melletti befogó OA OA

 =
 =
 = OA
átfogó OP 1
tg α = α szöggel szemközti befogó AP sin  α

 =
 =
α szög melletti befogó OA cos  α
ctg α = α szög melletti befogó OA cos  α

 =
 =
α szöggel szemközti befogó AP sin  α

A tg és ctg függvényeknél felhasználtuk a sin és cos függvények eredményeit.
Azaz OB = APsin  α és OA cos  α.

A fentiekből nagyon jól látható, hogy a matematikában – ha a “szabályokat” betartjuk, akkor – többféle úton is eljuthatunk ugyanahhoz az eredményhez.

 

Címke , , , , , , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.