Számhalmazok a matematikában

A korábbi bejegyzések szövegében hivatkoztam a számhalmazokra, ezúttal pedig megmutatom, hogy miért jó, ha tisztában vagyunk a számhalmazok elemeivel, hiszen a megoldást nagyban befolyásolja, hogy mi az alaphalmaz.
Részletesen megismerkedünk ezekkel a speciális halmazokkal, megtudhatjuk, hogy mely számok tartoznak az egyes számhalmazokba.

A “legkevesebb” elemszámmal rendelkező számhalmaz a Természetes számok halmaza. Erre azt szoktam mondani, hogy azok a számok tartoznak ide, ahány élő birkánk lehet. Vagyis ebbe a halmazba tartozik a 0, 1, 2, 3, … egészen a +∞. (Persze felmerülhet a kérdés, hogy technikailag hogyan kivitelezhető a +∞ darab birka. Ebben az esetben képzeljük el, hogy nagyon sok birkánk van, meg még 1, meg még 1, meg még 1, … 😉 )
Ennél a halmaznál a legbecsapósabb elem az a nulla, ugyanis sokan kifelejtik a felsorolásból, pedig az is ide tartozik. Sokszor ezen áll vagy bukik egy-egy feladat megoldhatósága.

Ahhoz, hogy ne kelljen minden alkalommal kiírni a teljes nevét (természetes számok), ehhez használunk egy jelölést, mégpedig a dupla szárú nagy N betűt.
Eszerint:

N = {0, 1, 2, 3, …, +∞}

 —     o     —

A következő speciális számhalmaz az Egész számok halmaza. Ebbe beletartoznak a természetes számok, vagyis a 0, 1, 2, 3, …, +∞, valamint a pozitív természetes számok negatív párjai (ellentettjei), azaz a -1, -2, -3, …, -∞.

Az egész számok jelöléséhez a dupla szárú nagy Z betűt használjuk.
Eszerint:

Z = {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, +∞}

(Megjegyzés: az a megfogalmazás, hogy az egész számok a -∞-től +∞-ig tartó számok, mint szabály kevés információt tartalmaz, hiszen ha csak ennyit mondanánk, akkor nem derülne ki, hogy pl. törtszámok nem szerepelhetnek a sorozatban. Ennek kiküszöbölésére a sorozat “közepén” elhelyezkedő számok közül néhányat felsorolunk, mintegy mintát mutatva, hogy mely számokra is gondoltunk pontosan.)

—     o     —

Ezek után rátérhetünk a Racionális számok halmazára.
Ide azok a számok tartoznak, melyeket fel lehet írni két egész szám hányadosaként. Tehát nem azok, melyek fel vannak írva, hanem amiket fel lehet írni (számlálós-nevezős) tört alakban. A hányados szó az osztás műveletre utal, így ki kell kötnünk, hogy az osztó nem lehet nulla, mert akkor nem tudnánk elvégezni az osztást.
Ennek értelmében természetesen ide tartoznak az egész számok is, hiszen, ha a tört számlálója valamely ‘a‘ egész szám (pl.: a=4), a nevező pedig 1, akkor a tört értéke megegyezik a számláló értékével, vagyis az ‘a‘ egész számmal (azaz 4-gyel, hiszen 4/1=4).

A racionális számok jelölésére a dupla szárú nagy Q betűt használjuk.
Eszerint:

Q = {a/b alakban írható számok, ahol az a,b є Z , és a b≠0}

Racionális szám pl.: 1/2; 3/5; 0/2; -5/3; 3=3/1; 5,6=56/10; stb.
Ide tartoznak a végtelen szakaszos tizedestörtek is!
Pl.: 0,33333…=1/3; 0,16161616…=16/99;

(A racionális számok tizedestört alakja miért véges tizedestört vagy végtelen szakaszos tizedestört?, illetve, a Miképpen lehet a végtelen szakaszos tizedestörteket átírni tört alakba? kérdések megválaszolására most nem kerül sor.)

—     o     —

A következő számhalmaz az Irracionális számok halmaza.
Ezt akkor tudjuk a legkönnyebben megfogalmazni, ha tudjuk, hogy az “ir-” szócskát mire is használhatjuk, hiszen a racionális kifejezést már értjük.
Általában idegen szavak ellentétes jelentéséhez használjuk. Pl.: reális / irreális (valós / nem valós = valótlan pl. esemény következménye);
Ugyanilyen értelemben használjuk itt is, vagyis az irracionális = nem racionális számok halmaza.

Ezek után már írhatjuk szabályként, hogy az irracionális számok olyan számok, melyeken nem tudunk felírni két egész szám hányadosaként. Jelölésükre a dupla szárú, nagy Q*-ot használjuk.

Nézzünk először csak felírva néhány példát irracionális számokra, majd elemezzük őket egy kicsit:
a) 0,121121112111121111121111112…
b) 3,454455444555444455554444455555…
c) 1,23456789101112131415161718192021…
d) √2;

Ezek a törtek nem végtelen szakaszos tizedsestörtek.
Arra kérdésre, hogy ezek a számok végtelen tizedestörtek, a felírás jelölése utal, ugyanis a számok végén szereplő ‘…’ jelölés mutatja, hogy az előtte álló szabályszerűséget folytatjuk a végtelenségig.
Már “csak” azt kell belátnunk, hogy a fenti számjegyek sorozatában nincs olyan rész, ami egy adott ponttól már ismétlődik. (Aminek következtében végtelen szakszos tizedestört lenne.)

a) Az első esetben az 1-es csoportokat egy-egy 2-es választja el. Megfigyelhetjük, hogy az egyesek száma minden esetben 1 darabbal növekszik. Először 1 db 1-es, majd azt követően már 2 db 1-es, 3 db 1-es, és így tovább mindig 1-gyel több 1-es szerepel a 2-esek között.
Ebből persze látható, hogy ennek a számnak nincs olyan része, ami pontosan ugyanúgy ismétlődik, vagyis amit ‘szakasz‘-nak nevezhetnénk.

b) Az előzőhöz hasonlóan láthatjuk, hogy itt a 4-esek és 5-ösök váltakozva követik egymást. Ugyanannyi az  – egymást követő – 4-esek és 5-ösök száma. (1-1, 2-2, 3-3, …) Ha ezt a sort folytatjuk, szintén azt láthatjuk, hogy nincs ún. szaksz a tizedestörtben, tehát végtelen, nem szakaszos tizedestört.

c) Ennél a számnál a pozitív egész számok szerepelnek egymás mögött (1, 2, 3, 4, 5, …) növekvő sorrendben. Ebből is látható, hogy nem lehet szakaszos, hiszen ahhoz az kellene, hogy két egymást követő egész szám megegyezzen. Ez persze lehetetlen, így ez a szám is irracionális szám.

d) Bizonyítás nélkül fogadjuk el – talán egy későbbi bejegyzés témája lehet -, hogy a 2 négyzetgyöke az irracionális szám.
Sőt, általában véve megfogalmazhatjuk, hogy azoknak a számoknak a négyzetgyöke, melyek nem négyzetszámok, irracionális számok. Pl.: √3, √5, √6, √7, √8, √10, …
(A 4, 9, 16, 25,…, stb. kimaradnak a listából, hiszen ezek a számok a négyzetszámok.)

—     o     —

Befejezésül meg kell említeni a Valós számok halmazát.
Ez nem más, mint a racionális számok és az irracionális számok együttese.
A valós számok jelölésére a dupla szárú, nagy R betűt használjuk.
Ha halmazok jeleit használjuk: R = Q U Q*. (Ahol U jelenti a halmazok unió-ját, egyesítését.)

Ebbe a számhalmazba minden olyan szám beletartozik, amivel az általános iskolában, illetve a középiskolák nagy részében foglalkoznak a tanulók.

Léteznek még más számhalmazok is, azok jelentését most nem tárgyalom.

 

Címke , , , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.